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¿Por qué una operación no conmutativa debería incluso llamarse "multiplicación"?

Según mi conocimiento y lo que se enseña en la escuela,

$a\times b$ es $a$ veces $b$ o $b$ veces $a$

Obviamente, esto es conmutativa como $a$ veces $b$ e $b$ veces $a$ son la misma cosa. Por otro lado, hay multiplicaciones como la multiplicación de vectores y la multiplicación de la matriz que no son conmutativos.

Lo que hace la multiplicación significa, en general, para estos? O debería incluso ser llamado de multiplicación?

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badjohn Puntos 1

Términos en matemáticas no necesariamente tienen absoluta, de las definiciones universales. El contexto es muy importante. Es común para un plazo similar, pero no idéntica significados en varios contextos, pero también es común que el significado difieren considerablemente. Incluso puede diferir de autor a autor en el mismo contexto. Para estar seguro del significado, es necesario comprobar que el autor de la definición.

Puede ser tentador para exigir que la multiplicación ser conmutativa y otro término que se utiliza cuando no lo es, pero eso sería romper algunos buenos patrones, tales como los números reales, los números complejos, a los cuaterniones.

En el día a día de la vida, la multiplicación es conmutativa, pero sólo porque no sólo se ocupa de los números reales. Como usted profundizar en las matemáticas, usted tendrá que desaprender esta suposición. Es muy frecuente que algo que se llama la multiplicación no es conmutativa.

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DanV Puntos 281

En la escuela, usted puede también han aprendido que la multiplicación o adición son definidos por los números", pero los vectores, matrices y funciones no son números, ¿por qué deberían permitir que se suman o se multiplican para empezar?

Resulta que los sonidos y las letras forman palabras que utilizamos en contexto para transmitir información, por lo general en forma concisa.


En la escuela, por ejemplo, la mayoría de su educación matemática es acerca de los números reales, tal vez un poco acerca de los números complejos. Quizás aprendido a derivar una función.

Pero alguna vez ocurre que hay funciones de $\Bbb R$ a tal que para cada a$a<b$, la imagen de la función en $(a,b)$ es todo el conjunto de los números reales?

Si todas las funciones de que trata, en la escuela fueron diferenciable (o al menos en casi todas partes), por eso es que incluso una función? ¿Qué significa para que algo sea una función?

Bien. Estas son preguntas que los matemáticos tratados con un largo tiempo atrás, y decidió que debemos atenernos a las definiciones. Así, en matemáticas hemos definiciones explícitas, y les damos nombres, así que no tenemos que repetir la definición de cada momento. La frase "Vamos a $H$ ser un espacio de Hilbert sobre $\Bbb C$" packs en esas ocho palabras de una inmensa cantidad de conocimientos, que por lo general toma un largo tiempo para aprender, por ejemplo.

A veces, por conveniencia, y fuera de el gran amor de las generalizaciones, los matemáticos tomar una palabra que tiene un "sentido común", y decidir que es lo suficientemente bueno como para ser utilizado en un contexto diferente y significa otra cosa. Germen, tallo, filtro, gavilla, carcaj, gráfico, son todas las palabras que tomar un punto de referencia desde el sentido natural de la palabra, y dar una definición explícita en el contexto.

(Y ni siquiera he hablado acerca de las cosas que tienen poca o ninguna relación con su mundo real significado, por ejemplo, un ratón en la teoría de conjuntos.)

La multiplicación es una palabra que usamos en el contexto, y el contexto es una operación binaria asociativa en algún conjunto. Este conjunto puede ser de funciones, matrices, conjuntos, etc. Si se requiere que la operación tiene un elemento neutro y admitir la recíproca, tenemos un grupo; si nos tocan a otro operador, que también es asociativa, admite la recíproca, y conmutativa y postulan algunos distributividad leyes, obtenemos un anillo; o un semi-anillo; o y así sucesivamente.

Pero es conveniente hablar de la multiplicación, porque es una palabra, y en la mayoría de los casos el desarrollo pedagógico nos ayuda a comprender por qué en las generalizaciones se pueden omitir conmutatividad de esta operación.

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Acccumulation Puntos 13

Terminología para estructuras matemáticas a menudo está construido, y analogized, la terminología de "normalidad" estructuras matemáticas tales como los números enteros, números racionales y números reales. Para los vectores sobre los números reales, tenemos, además de las ya definidas por las coordenadas. La aplicación de esta operación y la adición de componentes termwise resultados de una manera significativa la operación, y natural de la terminología para referirse a los que simplemente como "suma". Multiplicando termwise resultado en una operación que no es tan significativa (para una cosa, esta operación, a diferencia de termwise además, depende del sistema de coordenadas). La cruz del producto, por otro lado, es significativa la operación, y que interactúa con termwise adición de una manera similar a la forma real de la multiplicación interactúa con el real además. Por ejemplo, $(a+b)\times c = a \times c + b \times c$ (propiedad distributiva).

Para matrices, tenemos de nuevo termwise, además de ser significativa la operación. Las Matrices representan lineal de los operadores, y la definición de linealidad incluye muchas de las propiedades de la multiplicación, tales como la distribución: (u+v) = A(u) + A(v). Por lo tanto, es natural para tratar la aplicación de un operador lineal como "multiplicadores" de un vector por una matriz, y a partir de ahí es natural definir la multiplicación de la matriz como de la composición de los operadores lineales: (a*B)(v) = (A(B(v)).

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user126154 Puntos 4315

El concepto de la matemática a continuación la cuestión es que de la operación.

En términos muy generales, si X es un conjunto, de una operación en X es sólo una función

$$X\times X\to X$$

Generalmente se denota con multiplicativo notaciones como $\cdot$ o $*$. Esto significa que una operación se lleva a dos elementos de X y dan como resultado un elemento de $X$ (exactamente como cuando se toman dos números, decir $3$ ant $5$ y el resultado es $5*3=15$)

Ejemplos de oparations son los habituales de las operaciones sobre los números reales: más, menos, de la división (que se define en cero no reales), multiplicaciones, exponenciación.

Ahora, si usted desea utilizar operaciones matemáticas que usualy requiere de propiedades que son útiles en los cálculos. Aquí las propiedades más comunes de que una operación puede tener.

$1)$ Asociatividad. Eso significa que $(a*b)*c=a*(b*c)$ y le permiten omitir los paréntesis y escribir $a*b*c$. Los habituales de suma y multiplicación en los números reales son asociativos. Resta, división y exponenciación no lo son. Por ejemplo: $$(5-2)-2=3-2=1\neq 5=5-(2-2)$$ $$ (9/3)/3=3/3=1\neq 9=9/1=9/(3/3)$$ $$ 2^{(3^2)}=2^9=512\neq 64= 8^2=(2^3)^2$$ Un famoso ejemplo de la no-asociativa de la multiplicación a menudo se utiliza en matemáticas es el de Cayley Octonions. Un ejemplo útil asociativo de las operaciones es la composición de funciones. Deje $A$ ser cualquier conjunto y $X$ ser el conjunto de todas las funciones de $A$ a $A$, es decir, $X=\{f:A\to A\}$. La composición de la función de dos $f,g$ es la función de $f*g$ definido por $f*g(a)=f(g(a))$. Claramente $f*(g*h)(a)=f(g(h(a)))=(f*g)*h(a)$.

$2)$ Conmutatividad. Eso significa que $a*b=b*a$. Habitual de la suma y la multiplicación son conmutativas. Matriz de producto no es conmutativo, la composición de funciones no es conmutativa en general (una rotación compuesta con una traducción no es la misma como una traducción de la primera, y después de la rotación), el vector producto no es conmutativo. La no conmutatividad de la composición de funciones es sobre la base del principio de incertidumbre de Heisemberg . Los Cuaterniones de Hamilton son un útil de la estructura que se utiliza en matemáticas. Tienen una multiplicación que es asociativa, pero no conmutativa.

$3)$ Existencia de elemento Neutro. Esto significa que existe un elemento e en la $X$ , de modo que $x*e=e*x=x$ cualquier $x$ de $X$. Para la suma de la netural elemento es $0$, para la multiplicación es $1$. Si consideras $X$ como el conjunto de incluso los números enteros los números, que el usual de la multiplicación está bien definido en $X$, pero el elemento neutro no existe en $X$ (sería $1$, que no es en $X$).

$4)$ Existencia de Inverso. En caso de que exista el elemento neutro $e\in X$, esto significa que para cualquier $x\in X$ existe $y$ , de modo que $xy=yx=e$. Usualmente $y$ se denota por a$x^{-1}$. A la inversa de lo habitual suma es $-x$, a la inversa de lo habitual multiplicación es $1/x$ (que sólo existe para los no-cero de los elementos). En el ámbito de las matrices, hay muchas matrices que no tienen inversa, para instane la matriz $\begin{pmatrix} 1 & 1\\1&1\end{pmatrix}$.

Tales propiedades son importantes porque hacen una operación amigable con el usuario. Por ejemplo: es cierto que si $a,b\neq 0$ entonces $a*b\neq0$? Parece que este tipo de obviuos, pero depende de las propiedades de la operación. Por ejemplo $\begin{pmatrix} 1 & 0\\3&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0\\1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0\\0&0\end{pmatrix}$ pero ambos $\begin{pmatrix} 1 & 0\\3&0\end{pmatrix}$ e $\begin{pmatrix} 0 & 0\\1&2\end{pmatrix}$ son diferentes de cero.

Conclusión, yo diría que cuando un matemático escuchar la palabra de multiplicación, de inmediato piensa en una operación asociativa, por lo general (pero no siempre) con elemento neutro, a veces conmutativa.

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djechlin Puntos 1869

un∗b es a veces el b o b veces

Que es un teorema no es una definición, muchas gracias. Por supuesto, la más sencilla es la prueba geométrica: el primero es un a x b rectángulo, y se gira y se obtiene una b x un rectángulo. Para demostrarlo a partir de los axiomas es un poco más complicado porque tienes que responder a la pregunta de si la multiplicación es no conmutativa como un axioma, entonces ¿qué podemos probar? La respuesta es una combinación de la inducción matemática, que es la idea de que si algo funciona para todos los números "y así sucesivamente", a continuación, funciona para todos los números, pero sólo se aplica en los enteros, ya que otros sistemas de numeración no tienen realmente un "y así sucesivamente."

Así que una vez que hablar fuera de la multiplicación de los números enteros a perder todas estas buenas garantías de que la multiplicación es conmutativa. En mi opinión, lo que realmente es. La multiplicación tiene sentido en un montón de lugares, y muchos de esos lugares no tienen fuertes razones que sería conmutativa.

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