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Tres paso la prueba de la divergencia de $\sum_{p\in \mathbf{P}} \frac{1}{p}$

En mi Teoría de los números skript dice:

  1. Mostrando que hay en la mayoría de las $(1+\frac{\log n}{\log 2})^{\pi(x)}$ números con $m\le n$ que son divisibles únicamente por números primos $p\le x$.

  2. Mostrando que hay en la mayoría de las $\sum_{x<p\le n} \frac{n}{p}$ números de $m\le n$, que es divisible por al menos uno de los prime con $p\le x$.

  3. Con 1. y 2. podemos concluir que el $\sum_{p\in \mathbf{P}} \frac{1}{p}$ es divergente por lo contrario, la elección de x con $\sum_{p>x} \frac{1}{p} < \epsilon \le \frac{1}{2}$ y, a continuación, $n\le (1+\frac{\log n}{\log 2})^{\pi (x)} + \epsilon n$ sigue, para todos n.

¿Cómo podemos mostrar 1. y 2. ? Y cómo mi profesor concluir en 3?

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RodeoClown Puntos 3949
  1. Un número menor que $n$ tiene menos de $(1+\frac{\log n}{\log2})$ factores primos (cada primer factor es, al menos, 2) y hay en la mayoría de las $\pi(x)$ opciones para cada factor primo.
  2. Hay $\lfloor\frac{n}{p}\rfloor$ números divisibles por $p$, por lo que hay en la mayoría de las $\sum_{x<p\le n}\frac{n}{p}$ con un factor primo mayor o igual a $x$$\lfloor\frac{n}{p}\rfloor\le\frac{n}{p}$.
  3. Los números menos de $n$ pueden ser divididos en dos grupos, Aquellos que tienen un factor primo mayor que $x$ y los que tienen todos los factores primos de menos de $x$. Para el primer grupo, por 2. conseguimos que hay en la mayoría de los
    $$\sum_{x<p\le n}\frac{n}{p}=n\sum_{x<p\le n}\frac{1}{p}<\epsilon n$$ numbers having a prime factor greater than $x$. For the second group, by 1. we know that there are at most $(1+\frac{\log n}{\log 2})^{\pi(x)}$ numbers having no prime factor greater than $x$. So as there are $n$ positive integers at most $n$, we have that $n<(1+\frac{\log n}{\log 2})^{\pi(x)}+\epsilon n$. To see that this proves that the sum of $\frac{1}{p}$ diverges note that for a fixed $x$, $(1+\frac{\log n}{\log 2})^{\pi(x)}$ is $o(n)$, so for large enough $n$ $n>(1+\frac{\log n}{\log 2})^{\pi(x)}+\epsilon n$ if $\epsilon \le\frac{1}{2}$, por lo que no podemos encontrar un $x$ tal que $\sum_{p>x}\frac{1}{p}<\frac{1}{2}$. En otras palabras $\sum_{p\in P}\frac{1}{p}$ diverge.

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