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Diferencia entre las representaciones matriciales de los tensores y $ \delta ^{i}_{j}$ y $ \delta_ {ij}$ ?

Mi pregunta básicamente es, ¿es el delta de Kronecker $ \delta_ {ij}$ o $ \delta ^{i}_{j}$ . Muchos libros de cálculo tensorial (incluyendo el que yo uso) afirman que es lo último, mientras que también he leído muchos casos en los que usan el primero. No pueden ser los mismos que no tienen las mismas leyes de transformación. Lo que pienso es que desde que

$ \delta_ {j}^{i}$ = ( $ \delta_ {j}^{i}$ ) $'$ pero $ \delta_ {ij}$ no lo hace, así que este último no puede ser un tensor. Pero el problema es que ambos tienen el mismo valor :- ( $1,0$ ) dependiendo de los índices. Así que me hace pensar que $ \delta_ {ij}$ es sólo la matriz de identidad $I$ y no un tensor, y $ \delta ^{i}_{j}$ es un función . Pero desde que $ \delta_ {j}^{i}$ también tiene la misma salida que $ \delta_ {ij}$ ¿CUÁL ES LA DIFERENCIA?

Creo que podrían ser representaciones matriciales. EN GENERAL, ¿hay una diferencia entre las representaciones matriciales de $ \delta_ {ij}$ , $ \delta ^{ij}$ y $ \delta_ {j}^{i}$ (o cualquier otro tensor para el caso). Por favor, conteste. estos (la diferencia entre los índices mixtos Y las representaciones de la matriz).

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Stefano Puntos 763

I) Por simplicidad, discutamos tensores en el contexto de (finite-dimensional) espacios vectoriales y álgebra multilínea . [Hay una generalización directa a colectores y geometría diferencial .]

II) Abstractamente en notación sin coordenadas, el Tensor delta de Kronecker o contracción tensorial es el emparejamiento natural

$$ \tag {1} V \otimes V^{*}~ \stackrel { \delta }{ \longrightarrow }~ \mathbb {F}$$

$$ v \otimes f ~ \stackrel { \delta }{ \mapsto }~ f(v) , \quad v \in V, \quad f \in V^{*},$$

entre un $ \mathbb {F}$ -espacio vectorial $V$ y su el espacio vectorial dual $V^{*}$ .

III) Si elegimos una base $(e_i)_{i \in I}$ para $V$ hay un Doble base $(e^{j*})_{j \in I}$ para $V^{*}$ de tal manera que

$$ \tag {2} e^{j*}(e_i)~=~ \delta ^j_i~:=~ \left\ { \begin {array}{rcl} 1 & \text {for}& i=j, \\ \\ 0 & \text {for}& i \neq j. \end {array} \right. $$

Aquí distinguimos entre índices de covariantes y contravariantes .] Entonces para un vector $v= \sum_ {i \in I} v^i e_i \in V$ y un covector $ f= \sum_ {j \in I} f_j e^{j*} \in V^{*}$ el mapa de contracción (1) es

$$ \tag {3} \delta (v,f)~=~ \sum_ {i,j \in I} f_j \delta ^j_i v^i~=~ \sum_ {i \in I}f_i v^i. $$

En otras palabras, $ \delta ^j_i$ es la representación matricial de la $ \delta $ mapa de contracción (1). Es un hecho interesante que la representación matricial es independiente de la elección de la base $(e_i)_{i \in I}$ para $V$ siempre y cuando escojamos la base dual correspondiente para $V^{*}$ en la forma natural. A menudo decimos que $ \delta ^j_i$ se transforma como un tensor, o es un tensor.

IV) Ahora, ¿qué pasa con $ \delta_ {ij}$ con índices más bajos? Bueno, primero debemos introducir un sistema simétrico forma bilineal o métrico,

$$ \tag {4} V \times V ~ \stackrel {g}{ \longrightarrow }~ \mathbb {F} $$ $$ g(v,w)=g(w,v) .$$

Si elegimos una base $(e_i)_{i \in I}$ para $V$ entonces podemos escribir

$$ \tag {5} g ~=~ \sum_ {i,j \in I} g_{ij}~ e^{i*} \otimes e^{j*} .$$

A menudo elegiremos una métrica que es la matriz de unidades en una cierta base

$$ \tag {6} g_{ij} ~=~ \delta_ {ij}~:=~ \left\ { \begin {array}{rcl} 1 & \text {for}& i=j, \\ \\ 0 & \text {for}& i \neq j. \end {array} \right. $$

Si ahora elegimos otra base, entonces la representación matricial $g_{ij}$ para la métrica (4) cambiará en general. En general, ya no será la matriz de unidades $ \delta_ {ij}$ . Decimos que $ \delta_ {ij}$ hace no transformarse como tensor bajo el cambio general de bases/coordinadas.

En pocas palabras, $ \delta_ {ij}$ con índices más bajos señala implícitamente la presencia de una métrica (4), o en otras palabras, una noción de escala de longitud en el espacio vectorial $V$ . Es importante darse cuenta de que la elección de una métrica (4) en $V$ es una elección no canónica.

V) Sin embargo, una vez que se nos da una métrica $g$ es natural estudiar los cambios de bases/coordinadas que preservan esta métrica $g$ . Estos corresponden a transformaciones ortogonales y $ \delta_ {ij}$ se comporta como un tensor covariante bajo tales transformaciones ortogonales.

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Daniel Mahler Puntos 2066

tl;dr

Todos los $ \delta ^{ij}$ , $ \delta_ {ij}$ , $ \delta ^i\,_j$ , $ \delta_i\ ,^j$ son diferentes, a menos que trabajes con tensores cartesianos (tensores en un espacio euclidiano representado en coordenadas cartesianas). Con los tensores cartesianos todos tienen los mismos valores, aunque técnicamente signifiquen cosas diferentes. En el caso general $ \delta ^i\,_j$ , $ \delta_i\ ,^j$ siempre te dan la matriz de identidad, pero $ \delta_ {ij} = \mathbf {e}_i \cdot \mathbf {e}_j$ que sólo da la matriz de identidad para una base orthonormal y $ \delta ^{ij}$ es la matriz inversa de $ \delta_ {ij}$ ( $ \delta $ es realmente el tensor métrico).

despotricar

Es una mala idea enseñar/aprender el cálculo de los tensores empezando con los tensores cartesianos, que es lo que sospecho que hace su libro, precisamente porque las características clave del cálculo de los tensores se vuelven triviales en ese escenario. El cálculo tensorial está diseñado para trabajar con espacios curvos y/o coordenadas curvilíneas. Aquí es donde la maquinaria extra del cálculo tensorial hace el trabajo real. También el cálculo tensorial está diseñado principalmente para tratar con campos: en el cálculo tensorial un "vector" es normalmente un campo vectorial y de forma similar para "tensor".

Para entender las motivaciones detrás del cálculo tensorial es importante recordar que la definición habitual de un espacio vectorial no incluye un producto interno. Los productos internos son una estructura adicional y pueden definirse diferentes productos internos sobre el mismo espacio vectorial subyacente. Esto ayuda a ver la diferencia entre un espacio vectorial y su dual, que de otro modo puede parecer trivial. Incluso cuando se define un producto interno, la fórmula habitual del producto componente para el mismo sólo es válida en bases que son otonormales con respecto al producto.

Sólo en el marco general se necesita realmente un tensor métrico explícito y existe una diferencia real entre los componentes vectoriales contravariantes y covariantes.

Recomiendo encarecidamente el capítulo 14 de Penrose's Camino a la realidad para una explicación conceptual de los tensores.

2voto

zwadde03 Puntos 26

Estos símbolos de Kronecker tienen las mismas representaciones de la matriz, como dijiste, sólo la matriz de la unidad. Los índices se colocan en posiciones superiores o inferiores para adaptarse a la convención de sumatoria de Einstein ( http://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_notation ). Siempre se utilizan junto con los vectores covariantes y contravariantes ( http://en.wikipedia.org/wiki/Covariance_and_contravariance_of_vectors ) en sistemas de coordenadas curvilíneas. Aprendí estas cosas en el contexto de la teoría electromagnética. Si usted también está familiarizado con la teoría electromagnética, le recomendaría las secciones 1.14 - 1.17 del libro Teoría electromagnética por Stratton. Ahí puedes encontrar una explicación bastante clara.

1voto

Jungle Hunter Puntos 335

Normalmente el símbolo $ \delta_ {ij} $ se utiliza para la función del delta Kronecker, mientras que $ \delta_ {i}^{j} $ es un $ (1,1) $ tensor. Está bien descrito en Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker_delta

A veces el uso es engañoso. Por ejemplo, para las matrices Pauli: $ [ \sigma_a , \sigma_b ]_{+} = 2 \delta_ {a b} $ pero más precisamente tienes que escribir $ [ \sigma_a , \sigma_b ]_{+} = 2 \delta_ {a b}\, \mathbb {I}_{2} $ . De todos modos la respuesta de Pu Zhang es correcta.

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