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¿Hay un nombre para este operador diferencial y / o su espectro correspondiente?

Deje $\mathcal{M}$ ser real, compacta orientable colector y deje $X$ ser un campo de vectores en $\mathcal{M}$. Considerar la funcional

$$E(f) = \int_{\mathcal{M}} X_p(f)^2 dV$$

donde $X_p(f)$ es direccional (Mentira) derivado de la $f$ a lo largo de $X$ en el punto de $p$ $dV$ es una forma de volumen en $\mathcal{M}$ -- este funcional esencialmente mide la cantidad total de variación en $f$ a lo largo de $X$ $\mathcal{M}$ $L^2$ sentido. A continuación, $\delta E(f)$ es un operador diferencial cuya eigenspectrum

$$\delta E(f) = \lambda f$$

(para $\lambda \in \mathbb{R}$) de los rendimientos de los puntos críticos de $E$ sobre el conjunto de funciones con unidad de norma. Hay un nombre establecido para este operador (o funcional) y/o su correspondiente eigenspectrum?

El prototipo de este operador es la de Dirichlet de la energía

$$\int_{\mathcal{M}} ||\nabla f||^2 dV$$

que tiene como (unidad-norma) puntos críticos el Laplaciano eigenspectrum

$$\nabla^2 f = \lambda f,$$

la principal diferencia es que de Dirichlet de la energía mide el total de gradiente, es decir, el cambio en todas las direcciones, en lugar de sólo el cambio a lo largo de una dirección particular en cada punto.

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Vaibhav Puntos 7334

No es una simple fórmula explícita para su operador en términos de los operadores conocidos. Para ver esto, observe que $\delta E_f(g)$ (el diferencial de $E$ en la función de $f$ en la dirección $g$) es igual a $$ 2 \int X(f) X(g) dV = 2\int \left[L_X(g X(f) dV )-g\left(X(X(f)) dV+X(f)L_X(dV)\right)\right] $$ donde $L_X$ es la Mentira deriviative con respecto a $X$. Ahora, $\int L_X(\alpha) = 0$ para cualquier grado de la forma $\alpha$, por lo que tenemos $$ \delta E_f(g) = - 2 \int_X g \left[X(X(f)) + X(f) div(X)\right]dV $$ donde la divergencia de $X$ está definido por $div(X)= L_X(dV)/dV$. Así, el uso de la $L^2$-producto interior en funciones, podemos interpretar el 1 formulario a- $\delta E$ como el operador diferencial $$ D :f \mapsto - X(X(f)) - X(f) div(X). $$ (Esta es la misma forma que el diferencial de Dirichlet de la energía es visto como el Laplaciano.)

Tenga en cuenta que el líder de la orden de parte de D es sólo $X^2$, por lo que, en particular, $D$ no es elíptica. Usted esperaría esto, por supuesto, porque $E$ sólo se ve el cambio de $f$ $X$- dirección.

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