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Lista de integrales interesantes para los estudiantes de cálculo temprano

Soy docente Calc 1 ahora, y quiero dar a mis alumnos más interesantes ejemplos de integrales. Por muy interesante, me refiero a los que son difíciles, no es tan sencillo (aunque no muy desafiante como Putnam problemas ni nada). Por ejemplo, tienen que hacer un $u$-sustitución, pero ¿cuál elegir para $u$ no es tan fácil de averiguar como es normalmente. O, varias opciones para $u$ trabajo lo mejor que puede escoger uno que funciona, pero se enteran de que no hay solo una manera para hacer todo.

Hasta el momento hemos cubierto funciones trigonométricas, logarítmicas y exponenciales funciones, pero no funciones trigonométricas inversas (a pesar de que vamos a llegar a esto pronto, así que aquellos que estaría bien también). Hemos cubierto $u$-sustitución. Piensa como integración por partes, sustitución trigonométrica, y parcial de las fracciones y todos los que están cubiertos en Calc 2 donde enseño. Así que, realmente no me importa mucho acerca de aquellos a la derecha ahora. Doy la bienvenida a las integrales sobre los temas como las respuestas, como se puede ser útil a los demás mirando a esta pregunta, pero estoy esperando para las integrales que son de interés para mis alumnos de este semestre.

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Ken Puntos 106

Un par de integrales que se podrían encontrar interesante es $$\int_0^{\pi/2} \cos^2 x \, dx \textrm{ y } \int_0^{\pi/2} \sin^2 x \, dx.$$

Estas integrales pueden ser evaluados de dos maneras diferentes.

  1. El uso de doble ángulo de fórmulas para encontrar el antiderivatives.

  2. Intuitivamente, las integrales debe ser la misma, porque son la misma función sólo volteó alrededor. Más formalmente, los estudiantes pueden comprobar que, si se hace la sustitución $u=\frac{\pi}{2}-x$ se convierte en una integral en el otro. Pero su suma es de $\int_0^{\pi/2} \sin^2 x + \cos^2 x \, dx=\int_0^{\pi/2} 1 \, dx$.

Por el mismo truco, usted puede tener su integración de los estudiantes $$\int_0^{\pi/2} \frac{\sin^3 x}{\sin^3 x + \cos^3 x} dx$$

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ChrisG Puntos 45

Recuerdo que gastar un montón de tiempo tratando de romper $$\int \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}\,dx$$ de vuelta en el día, que se convirtió en mucho más simple cuando me enteré de que podría pedirle a $u^6=x$. Para su Cálculo, la clase 2, siempre he sido aficionado de $\int \sqrt{\bronceado{x}}\,dx$. Se utiliza casi todo el cuerno de la abundancia de los trucos (sustitución, completando el cuadrado, fracciones parciales).

También, a veces integrales que uno podría normalmente enfoque con trigonométricas sustitución son mucho más rápida si se sabe acerca de fórmulas explícitas para hiperbólicas inversas funciones trigonométricas. Por ejemplo, $$ \int\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\,dx$$ se puede hacer con un trigonométricas sustitución, o al darse cuenta de esto es de $\mathrm{arsinh}(x)+c$. En cualquier caso, usted recibe $\log{(x+\sqrt{1+x^2}})+ c$, pero solo de ti depende si prefieres memorizar las fórmulas trigonométricas inversas o hacer el trig subs.

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user26872 Puntos 11194

Algunos de mis trucos favoritos:

La adición de cero \begin{eqnarray*} \int \frac{dx}{1+e^x} &=& \int \frac{du}{u(u+1)} \hspace{10ex} (u = e^x) \\ &=& \int du \frac{1+u-u}{u(1+u)} \\ &=& \int \frac{du}{u} - \int \frac{du}{1+u} \\ &=& \ldots \end{eqnarray*}

Multiplicando por uno \begin{eqnarray*} \int \frac{dx}{1+e^x} &=& \int dx \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}} \\ &=& -\int \frac{du}{1+u} \hspace{10ex} (u = e^{-x}) \\ &=& \ldots %&=& -\log(1+e^{-x}) + C \end{eqnarray*}

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Andrew Bolster Puntos 111

El siguiente ejemplo es muy interesante, porque hay varias opciones para una sustitución. Esto fue en una prueba que hice de clasificación y a mí era obvio y nunca se me ocurrió hacer ninguna sustitución. Pero, los estudiantes combinado utilizado varias opciones y para mi sorpresa, muchos de ellos trabajaban.

$$\int \s^8 x \tan x \,dx$$

Para mí, la opción obvia es $u = \sec x$, $du = \sec x \tan x \,dx$ que conduce a

$$\int u^7 \,du = \frac{\s^8 x}{8} + C$$

Pero, para mi sorpresa, usted puede elegir otros poderes de $\sec x$. Si $u = \seg^n x$, donde $$ n es un entero positivo, entonces $du = n \seg^n x \tan x \,dx$, entonces $n = 1, 2, 4, 8$ todo el trabajo. Por ejemplo, si $u = \s^4 x$, entonces $du = 4 \s^4 x \tan x$ y por lo tanto tenemos

$$\frac{1}{4} \int u \,du = \frac{1}{4} \frac{(\s^4 x)^2}{2} + C$$

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Rick Decker Puntos 6575

Usted podría considerar la posibilidad de que el viejo caballo de batalla $$ \int \sec x\ dx $$ Es muy común en el cálculo de los textos que recurrir al truco de multiplicar y dividir por $(\sec x + \tan x)$, haciendo que la respuesta salta a la derecha con un poco de simplificación. Cualquier estudiante razonable, aunque, puede que se quejan de este "conejo del sombrero enfoque", preguntando, "¿Cómo en la tierra podría esperar que me ocurrió esta idea?" Todo este enfoque no es impresionar a los estudiantes con el autor de la inteligencia, mientras que al mismo tiempo, hacerlos sentir estúpido. He aquí un enfoque alternativo que implica una diferente, y tal vez más accesible, tipo de inteligencia.

$$ \begin{align} \int\sec x\ dx&=\int\frac{1}{\cos x}\ dx=\int \frac{\cos x}{\cos^2 x}\ dx = \int \frac{\cos x}{1-\sin^2 x}\, dx\\ &= \int \cos x\left(\frac{1}{(1-\sin x)(1+\sin x)}\right)\, dx\\ \end{align} $$ Continuar con fracciones parciales: $$ \begin{align} &=\int \frac{\cos x}{2}\left(\frac{1}{1-\sin x}+\frac{1}{1+\sin x}\right)\, dx\\ &= \frac{1}{2}\int\frac{\cos x}{1-\sin x}\ dx+\frac{1}{2}\int \frac{\cos x}{1+\sin x}\, dx\\ \end{align} $$ y ahora dos simples sustituciones y un poco de álgebra da el resultado. Ocasionalmente, después de dar esta versión te voy a dar la versión de los textos como un ejercicio, donde pertenece propiamente.

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