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La raíz cuadrada de un número primo es irracional

Si $p$ es un número primo, entonces $ \sqrt {p}$ es irracional.

Sé que esta pregunta ya ha sido hecha, pero quiero asegurarme de que mi método es claro. Mi método es el siguiente:

Asumamos que la raíz cuadrada del número primo $p$ es racional. Por lo tanto, podemos escribir $ \sqrt {p} = \frac {a}{b}$ . (En su forma más baja.) Entonces $p = \frac {a^2}{b^2}$ y así $p b^2 = a^2$ .

Por lo tanto $p$ divide $a^2$ así que $p$ divide $a$ . Sustituye a $a$ por $pk$ . Averigua que $p$ divide $b$ . Por lo tanto, esto es una contradicción ya que deben ser relativamente primos, es decir, gcd $(a,b)=1$ .

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Shailesh Puntos 2963

También se puede utilizar el teorema de la raíz racional al suponer una raíz racional para $x^2 - p = 0$ y demostrando que no puede ser.

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