Si $p$ es un número primo, entonces $\sqrt{p}$ es irracional.
Sé que esta pregunta ha sido formulada antes, pero quiero asegurarme de que mi método sea claro. Mi método es el siguiente:
Supongamos que la raíz cuadrada del número primo $p$ es racional. Por lo tanto, podemos escribir $\sqrt{p} = \frac{a}{b}$. (En su forma más simple.) Entonces $p = \frac{a^2}{b^2}$, y por lo tanto, $p b^2 = a^2$.
Por lo tanto, $p$ divide a $a^2$, entonces $p$ divide a $a$. Sustituya $a$ por $pk$. Descubra que $p$ divide a $b$. Por lo tanto, esto es una contradicción ya que deberían ser primos relativos, es decir, mcd$(a,b)=1$.
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Dependiendo de para quién estés escribiendo la prueba, podría reemplazar "Por lo tanto, $p$ divide $a$" por "De modo que $p$ divide $a^2$ y por lo tanto también divide $a". (Hay un paso definitivo en la lógica que tal vez debería destacarse).
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^De acuerdo. Se realizó el cambio necesario.
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El número de factores primos de $a^2$ es par, mientras que el número de factores primos de $p\cdot b^2$ obviamente es impar.
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@MichaelHoppe ... lo cual sigue con existencia y unicidad de factorizaciones primarias, es decir, FTA = Teorema Fundamental de la Aritmética. Al aprender por primera vez estos temas, es esencial justificar explícitamente tales afirmaciones (porque generalmente fallan en sistemas de números ligeramente más generales, por ejemplo, anillos de enteros cuadráticos de la forma $\, a + b\sqrt d).\ \ $
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Lo triste es que, después de 5 años, nadie realmente dijo "Sí, Alejandro, tu prueba es absolutamente correcta"