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La expansión de dos variables de la función de $f(x,y)$ más de los juegos completos $\{ g_{i}(x) \}$ $\{ h_{j}(y) \}$

Muy a menudo (véase, por ejemplo, este PDF, 50 KB) cuando se habla de la de Born-Oppenheimer aproximación la siguiente afirmación: cualquier buen comportamiento en función de dos variables independientes $f(x,y)$ siempre puede ser ampliado a lo largo de la serie completa de funciones de $\{ g_{i}(x) \}$$\{ h_{j}(y) \}$, de la siguiente manera $$ f(x,y) = \sum\limits_{i} \sum\limits_{j} c_{ij} g_{i}(x) h_{j}(y) \, , \quad (1) $$ o mediante la definición de $$ c_{j}(x) = \sum\limits_{i} c_{ij} g_{i}(x) \, , $$ como $$ f(x,y) = \sum\limits_{j} c_{j}(x) h_{j}(y) \, . $$

A veces, un argumento en favor de la afirmación anterior es que es equivalente a la expansión de una función de una variable $f(y)$ sobre el conjunto completo de funciones de $\{ h_{j}(y) \}$ $$ f(y) = \sum\limits_{j} c_{j} h_{j}(y) \, , $$ con la diferencia de que los coeficientes de $c_{j}$ en el primer caso, llevar a la $x$-dependencia.

Me parece que este argumento es un poco descabellado. Así que mi pregunta es: ¿cómo sabemos que (1) es verdadera? Es un teorema, o un axioma, o algo?

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Jon Puntos 171

Empezar con $f(x,y)$. Fijar un determinado $x$, vamos a llamar a $x_0$. Obviamente, a continuación, $f(x_0, y)$ es una función de una variable, por lo que tiene una expansión en el juego completo, $$f(x_0, y) = \sum_j c_j(x_0) h_j(y)$$

Mientras que los coeficientes de dilatación ahora dependen de la $x_0$, ya que es diferente a $y$dependiente de la función para cada valor de $x_0$ que nos revisión, la capacidad de expandir no depende de eso. Así que bien podríamos llamar simplemente $x$ nuevo,

$$f(x,y) = \sum_j c_j(x) h_j(y)$$

Siguiente paso: Desde $c_j(x)$ es de una sola variable en función de $x$, se puede expandir: $$c_j(x) = \sum_i c_{ij} g_i(x)$$

Poniendo todo junto, $$f(x,y) = \sum_{i}\sum_j c_{ij} g_i(x) h_j(y)$$

EDIT: En la verdadera moda de un físico, me hizo suponer que las funciones están suficientemente bien comportado de hacer todos estos pasos. Técnicamente no tiene que preocuparse acerca de las diversas nociones de convergencia de funciones, pero especialmente para el cuadrado integrable Hilbert espacios que deben estar bien :)

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Stefano Puntos 763

OP está pidiendo una muy importante pregunta matemática (v1), que se utiliza en muchas partes de la física matemática, por ejemplo, en la resolución de ecuaciones en derivadas parciales por separación de variables.

Ejemplo: Considere la posibilidad de funciones en los reales positivos de la mitad de la línea de $\mathbb{R}_{>0}$ con una base $(g_n)_{n\in\mathbb{Z}}$ de potencia entera de las funciones de $g_n(x):=x^n$. Del mismo modo $h_n(y):=y^n$, $n\in\mathbb{Z}$. Deje que se dé una función de $f: \mathbb{R}_{>0}^2\to \mathbb{C}$ en el espacio del producto, como

$$ f(x,y)~:=~\frac{1}{x+iy}~=~\left\{\begin{array}{rcl}\frac{1}{x}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{y}{ix}\right)^n &\text{for} & 0<y<x, \\ \frac{1}{iy}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{ix}{y}\right)^n &\text{for} & 0<x<y. \end{array}\right. $$ Tenga en cuenta que uno no puede usar la misma expansión de la serie en todo el dominio $\mathbb{R}_{>0}^2$. Final del ejemplo.

A contestado, OP pregunta correctamente, se debe conocer la definición precisa de la correspondiente función de los espacios y su topología. E. g. son infinitas sumas supone que pointwise convergente, uniforme convergente, o convergente en ${\cal L}^{p}$-norma, o algo diferente?

Un sorprendentemente eficaz y bastante amplia configuración es si la correspondiente función de espacio puede ser visto como un espacio de Hilbert con el correspondiente producto interior. A menudo la base de funciones ortonormales funciones propias de algunos Hermitian operador.

Decir por ejemplo, que tenemos dos espacios de Hilbert $H$ $K$ con base ortonormales $(e_i)_{i\in I}$$(f_j)_{j\in J}$. Entonces, es un teorema que $(e_i\otimes f_j)_{(i,j)\in I\times J}$ es un ortonormales base para el producto de espacios de Hilbert $H\otimes K$.

Por último, si el OP está más interesado en las funciones continuas y convergencia uniforme, podrían estar interesados en el producto de las aplicaciones de espacio de Stone–Weierstrass teorema.

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