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Vectores cíclicos de una representación irreductible de una C * -algebra

Que $\mathcal{A}$ ser un C *-álgebra y $(H,\pi)$ una representación irreducible de $\mathcal{A}$.

Quiero probar la declaración: todas las $\xi \in H$ son cíclicos o $\pi(\mathcal{A})={0}$ y $H=\mathbb{C}$.

¿Cómo puede uno acercarse a este problema?

Supongamos que hay un $\hat{\xi}\in H$ que no es cíclico, entonces no es denso en H, es decir, ${a\hat\xi:a\in \pi(\mathcal{A})}$ ${a\hat\xi:a\in \pi(\mathcal{A})}^{\perp}\neq {0}$. Partir de aquí, no sé cómo concluir que $\pi(\mathcal{A})={0}$ y $H=\mathbb{C}$.

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La declaración a ser probada debe ser ligeramente modificado de la siguiente manera.

La proposición: Vamos a $ \mathcal{A} $ ser una C*-álgebra y $ (\mathcal{H},\pi) $ un irreductible *-representación de $ \mathcal{A} $. Luego

  • cada una de las $ \xi \in \mathcal{H} \setminus \{ 0_{\mathcal{H}} \} $ es un vector cíclico, o

  • $ \pi[\mathcal{A}] = \{ 0_{B(\mathcal{H})} \} $ $ \mathcal{H} \cong \mathbb{C} $.

Prueba

Si cada una de las $ \xi \in \mathcal{H} \setminus \{ 0_{\mathcal{H}} \} $ ya es un vector cíclico, entonces no hay nada para mostrar.

Por lo tanto, supongamos que hay un $ \xi \in \mathcal{H} \setminus \{ 0_{\mathcal{H}} \} $ que no es un vector cíclico. Por definición, esto significa que $$ \mathcal{H}' ~ \stackrel{\text{def}}{=} ~ \overline{\{ [\pi(a)](\xi) ~ | ~ \in \mathcal{A} \}}^{\| \cdot \|_{\mathcal{H}}} $$ es un cerrado y adecuado lineal subespacio de $ \mathcal{H} $. Claramente, $ \mathcal{H}' $ es también un subespacio invariante de $ (\mathcal{H},\pi) $. Como $ (\mathcal{H},\pi) $ es irreductible, tenemos $ \mathcal{H}' = \{ 0_{\mathcal{H}} \} $, lo que significa que $ [\pi(a)](\xi) = 0_{\mathcal{H}} $ por cada $ a \in \mathcal{A} $. De ello se desprende que la de una dimensión lineal subespacio $ \mathbb{C} \cdot \xi \subseteq \mathcal{H} $ es un subespacio invariante de $ (\mathcal{H},\pi) $; para ver esto, basta observar que \begin{align} \forall a \in \mathcal{A}: \quad [\pi(a)][\mathbb{C} \cdot \xi] &= \mathbb{C} \cdot [\pi(a)](\xi) \\ &= \mathbb{C} \cdot 0_{\mathcal{H}} \\ &= \{ 0_{\mathcal{H}} \} \\ &\subseteq \mathbb{C} \cdot \xi. \end{align} Por la irreductibilidad de $ (\mathcal{H},\pi) $ nuevo, de este modo, obtener $$ \mathcal{H} = \mathbb{C} \cdot \xi \cong \mathbb{C}. $$ Por lo tanto, $ [\pi(a)][\mathcal{H}] = \{ 0_{\mathcal{H}} \} $ por cada $ a \in \mathcal{A} $, lo que de inmediato los rendimientos $$ \pi[\mathcal{A}] = \{ 0_{B(\mathcal{H})} \}. \quad \blacksquare $$

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