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Ideales de profundidad cero en el homogeneizado álgebra de Weyl

  • Deje $\mathcal{D}$ $n$th álgebra de Weyl $ \mathcal{D} :=k[x_1,...,x_n,\partial_1,...,\partial_n] $ donde $\partial_ix_i-x_i\partial_i=1$.
  • Deje $\widetilde{\mathcal{D}}$ ser su álgebra de Rees, que es $ \mathcal{D} :=k[t, x_1,...,x_n,\partial_1,...,\partial_n] $ donde $\partial_ix_i-x_i\partial_i=t$, e $t$ es central.
  • Deje $\mathcal{O}_X$ el valor del polinomio álgebra $k[x_1,...,x_n]$, que es una izquierda $\widetilde{\mathcal{D}}$-módulo, donde $t$ y todos los $\partial_i$ acto por el cero. NOTA: esto es diferente a la homogeneización de la norma $\mathcal{D}$-módulo de estructura en $\mathcal{O}_X$.

La pregunta que me interesa es, cómo muchos de los generadores de hace un a la izquierda ideal $M$ $\widetilde{\mathcal{D}}$ necesita antes de $Hom_{\widetilde{\mathcal{D}}}(\mathcal{O}_X,\widetilde{\mathcal{D}}/M)$ puede ser distinto de cero? Mi conjetura es que el $M$ tiene, al menos, $n+1$ generadores. NOTA: Conocedores de álgebra de Weyl veteranos sabrán cada izquierdo ideal en $\mathcal{D}$ puede ser generado por dos elementos; sin embargo, esto no es cierto en $\widetilde{\mathcal{D}}$. No pueden ser ideales generados por $n+1$ elementos, y no menos.

El functor $Hom_{\widetilde{\mathcal{D}}}(\mathcal{O}_X,-)$ actúa como una relación analógica de los más conocidos functor $Hom_R(k,-)$ (donde $R=k[t,y_1,...y_n]$). Por lo tanto, la pregunta de arriba es análoga a la pregunta: "¿cómo muchos de los generadores tienen un ideal de a $I\subseteq R$ tienen antes de $R/I$ puede tener profundidad cero?" La respuesta aquí es $n+1$, lo que sigue a partir de Thm 13.4, pg 98 de Matsumura (esencialmente una versión souped up de la Hauptidealsatz).

En el no conmutativa caso, si intenta realizar este trabajo con el $\widetilde{\mathcal{D}}$-módulo de $k$ (donde $t$, $x_i$ y $\partial_i$ todo acto por el cero), no funciona. El natural conjetura sería que $Hom_{\widetilde{D}}(k,\widetilde{\mathcal{D}}/M)\neq 0$ implica $M$ tenía al menos $2n+1$ generadores, excepto que esta falla incluso para la primera álgebra de Weyl y $M=\widetilde{\mathcal{D}}x_1+\widetilde{\mathcal{D}}\partial_1$ (desde $\widetilde{\mathcal{D}}/M=k$).

Sin embargo, parece que las cosas podrían funcionar a la derecha del módulo de $O_X$, basado en una buena cantidad de experimentación. Es fácil de cierto en la primera álgebra de Weyl. Oh, y la condición es equivalente a pedir al $Hom_{\overline{\mathcal{D}}}(\mathcal{O}_X,\overline{M})\neq 0 $ donde $\overline{\mathcal{D}}=\widetilde{\mathcal{D}}/t$, e $\overline{M}$$M/Mt$.

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JimmyJ Puntos 1443

Yo no estoy seguro de entender el analógica correctamente, pero en la conmutativa caso, uno puede llegar a la profundidad de cero con 3 generadores. Eso es debido a que cualquier segundo sicigias de un módulo de profundidad, al menos, $1$ es isomorfo a un segundo sicigias de un 3-ideal generado por un resultado de Bruns. Incluso es implementado aquí (se advierte que la declaración se pierde el mínimo de profundidad de $1$ parte):

http://www.math.uiuc.edu/Macaulay2/doc/Macaulay2-1.2/share/doc/Macaulay2/Bruns/html/

Usted puede tomar la N a ser el segundo sicigias de $m=(t,y_1,...,y_n)$, lo $N$ tiene la profundidad de 3. Producir un tres generado ideal $I$ tal que $syz^2(I)\cong N$. Por lo $depth I =3-2=1$, e $depth R/I=0$.

Creo Teorema 13.4 muestra que $dim R/I=0$ implica $I$ al menos $n+1$generados.

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