Esto se puede generalizar para dar dos pruebas de primalidad. Considere la ecuación $$\frac{pa + b}{pb +c} = \frac{a}{c}$$ donde $p$, $a$, $b$ y $c$ son todos los enteros positivos con $a, b, c < p$. Esta es una base de $p$ de la versión de la pregunta. Suponga que $p$ es algún entero positivo fijo. Vamos a decir que $(a, b, c)$ es una solución si la ecuación se satisface. Vamos a decir que una solución es trivial si $a = b = c$; de lo contrario, vamos a decir que la solución es trivial. Hay $p -1$ trivial soluciones. Compruebe que si $(a, b, c)$ es una solución con dos de $a$, $b$ y $c$ iguales, entonces la solución es trivial.
Suponga que $(a, b, c)$ es una solución no trivial. En este caso, el máximo común divisor de a $b$ y $p - 1$ es mayor que $1$. También el máximo común divisor de $c$ y $p$ es mayor que $1$. Podemos demostrar dos teoremas:
Teorema 1 Suponga que $p > 1$ es un número entero. Entonces $p$ es primo si y sólo si no hay soluciones no triviales.
En una dirección, esto se deduce de la observación de que el máximo común divisor de $c$ y $p$ es mayor que $1$. Recordemos que $c < p$. En la otra dirección si $p = mn$ ($n - 1, p - 1, m(n - 1) )$ es una solución no trivial.
Teorema 2 Suponga que $p > 2$ es un entero par. Entonces $p - 1$ es primo si y sólo si y sólo si en cada solución no trivial $(a, b, c)$ tenemos $b = p - 1$.
En una dirección, esto se deduce de la observación de que el máximo común divisor de a $b$ y $p - 1$ es mayor que $1$. En la otra dirección si $p - 1 = mn$ entonces $(\frac{1}{2} (m + 1), \frac{1}{2} (m + 1)n, \frac{1}{2} mn)$ es una solución no trivial.
También se puede demostrar que si $(a, b, c)$ es una solución no trivial, entonces $2a \leq c < b$. Si $p = 4$ la solución $(1, 3, 2)$ muestra estos límites son los mejores posibles.
También se puede demostrar que el número de notrivial soluciones es incluso menos que $p$ es el cuadrado de un entero par.