4 votos

Si$A$ es una matriz simétrica. Entonces todos los valores propios de$A^2$ no son negativos

Para la respuesta, se puede obtener el apoyo de dos afirmaciones:
Reivindicación 1: Si $A$ es real y simétrica, entonces se ha real de los autovalores. Prueba aquí
Reivindicación 2: Si $\lambda$ es un autovalor de a$A$, a continuación, $\lambda^2$ es un Autovalor de a$A^2$. Prueba aquí

Así que por esas dos afirmaciones, podemos decir que si $\lambda$ es un autovalor de a$A$, luego de la correspondiente autovalor $\lambda^2$ de $A^2$ es no negativa. Pero mi problema es ¿cómo podemos garantizar que va a cubrir todos los posibles valores propios de a$A^2$?

6voto

Foobaz John Puntos 276

Comience con la diagonalización $$ A = PDP ^ {- 1} $$ donde $P$ es la matriz de vectores propios y $D$ es la matriz diagonal con valores propios en la diagonal principal. Luego $$ A ^ 2 = (PDP ^ {- 1}) (PDP ^ {- 1}) = PD ^ 2P ^ {- 1} $$ de la que sigue la reclamación.

4voto

Tsemo Aristide Puntos 5203

Una matriz simétrica es diagonalizable, $D=PAP^{-1}$ donde $A$ es simétrica y $D$ diagonal. $D^2=PA^2P^{-1}$ , esto implica que los valores propios de $A^2$ son el cuadrado de los valores propios de $A$ .

3voto

egreg Puntos 64348

Más que esto es cierto: si $B$ es cualquier real de la matriz, entonces los autovalores de a$B^TB$ son reales y no negativos.

El hecho de que los autovalores son reales siguiente de su reclamación 1.

Supongamos $\lambda$ es un valor propio con vector propio $v$; a continuación, $$ \lambda(v^Tv)=v^T(\lambda v)=v^TB^La=(Bv)^T(Bv)\ge0 $$ por lo $\lambda\ge0$.

En su caso $A$ es simétrico, por lo $A^2=A^TA$.

Con diagonalización de hecho, puede usted demostrar que los valores propios de a$A^2$ son los cuadrados de los valores propios de a$A$, pero no es necesario para la comprobación de la declaración de que usted tiene.

1voto

Leon Katsnelson Puntos 274

Supongamos $J$ es un Jordan en la forma de $A$, entonces debe quedar claro que los elementos de la diagonal de a$J^2$ son los cuadrados de los elementos de la diagonal de a$J$. En otras palabras, los valores propios de $A^2$ son exactamente los cuadrados de los valores propios de a$A$. Esto es cierto para cualquier la plaza de la matriz, y es cierto mucho más general (es decir, los valores propios de la función de una matriz son las funciones de los autovalores de la matriz).

Por lo tanto los valores propios son todos de la forma $x^2$ donde $x$ es real.

0voto

Dachi Imedadze Puntos 6

Deje $\lambda = a+ib\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}$. Para cualquier $x\in\mathbb{C}^n$ hemos

\begin{align} \|(A^2-\lambda I)x\|^2\|x\|^2 &\ge \left|\langle (A^2-\lambda I)x,x \rangle\right|^2 \\ &= \left|\langle A^2x,x\rangle - \lambda\langle x,x\rangle\right|^2\\ &= \left|\left(\|Ax\|^2 - a\|x\|^2\right) + ib\|x\|^2\right|^2\\ &= \left(\|Ax\|^2 - a\|x\|^2\right)^2 + |b|^2\|x\|^2\\ &\ge |b|^2\|x\|^4 \end{align} por lo $\|(A^2-\lambda I)x\| \ge |b|\|x\|$. Desde $b\ne 0$, podemos ver que $A^2-\lambda I$ está delimitada desde abajo y, por tanto inyectiva. Por lo tanto, $\lambda$ no es un autovalor de a$A^2$.

Ahora vamos a $\lambda < 0$. Para cualquier $x\in\mathbb{C}^n$ hemos

$$\|(A^2-\lambda I)x\|\|x\| \ge \langle (A^2-\lambda I)x,x\rangle = \langle A^2x,x\rangle - \lambda\langle x,x\rangle = \|Ax\|^2 - \lambda \|x\|^2 \ge -\lambda \|x\|^2$$ así que de nuevo $A^2-\lambda I$ está delimitada desde abajo y, por tanto inyectiva. Por lo tanto, $\lambda$ no es un autovalor de a$A^2$.

Llegamos a la conclusión de que los autovalores de a$A^2$ están contenidas en $[0, +\infty\rangle$.

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