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El razonamiento detrás de hacer expansiones en serie y aproximar funciones en física.

Es habitual en la física, que cuando tenemos una variable que es muy pequeña o muy grande hacemos una expansión de la serie de potencias de la función de esa variable y eliminamos los términos de orden superior, pero mi pregunta es, ¿por qué usualmente hacemos la expansión y luego aproximación, ¿por qué no simplemente hacemos el límite en esa función, cuando ese valor es muy pequeño (tiende a cero) o es muy grande (tiende a infinito)?

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jdhw Puntos 332

La razón principal es que queremos comprender el comportamiento del sistema en el barrio de el estado, en lugar de en el propio estado.

Tomar la ecuación de movimiento de un péndulo simple, por ejemplo:

$$\ddot{\theta} = -\frac{g}{\ell}\sin(\theta)$$

Si tomamos el límite donde el $\theta \rightarrow 0$, nos encontramos con $\ddot{\theta}= 0$, y concluiríamos que el péndulo el ángulo aumenta o disminuye de manera lineal con respecto al tiempo.

Si nosotros, sin embargo tomar una expansión de Taylor y truncar en el término lineal, nos encontramos con $\ddot{\theta} = -\frac{g}{\ell}\theta$, que es un oscilador armónico simple! Esta expansión nos muestra que en el barrio de $0$, el sistema vuelve a $0$ , como si de un oscilador armónico simple: completamente a diferencia de lo que podríamos estado en el límite de aproximación de arriba.

De hecho, usted podría considerar la posibilidad de limitar el comportamiento de todo un estado como el cero de orden de los componentes de un local de expansión, lo que es cierto de forma directa para el ejemplo anterior, desde el límite de término no contribuye con los términos de la dinámica del péndulo (pero señala correctamente que el ángulo aumenta/disminuye linealmente muy cerca de $0$).

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ZeroTheHero Puntos 111

La idea detrás de cualquier expansión es la de expresar una "complicada" de la función en términos de otros más simples. En el caso de una expansión de la serie, las más simples son polinomios. Así, por ejemplo, la función $$ \frac{1}{a+x}-\frac{1} {- x} \etiqueta{1} $$ es una diferencia de dos aproximadamente cantidades iguales al $x/a\to 0$ y así parece ser $0$ cuando $x/a\to 0$ pero eso no es realmente útil la información por lo que es conveniente para reexpresar como $$ \frac{1}{a(1+x/a)}-\frac{1}{a(1-x/a)} \approx -\frac{x 2}{a^2}-\frac{2 x^3}{a^4} $$ que proporciona alguna información adicional en este límite.

También hay varias circunstancias en las que algunos de ecuaciones - dicen que una ecuación diferencial no se puede resolver de forma exacta, pero puede ser resuelto en algunos límite (a menudo produciendo un lineal de ecuaciones o sistemas de ecuaciones), lo cual permite una cierta comprensión cualitativa de las características de las soluciones: esta es la base para la teoría de la perturbación. Por ejemplo, la solución de la ecuación de Schrödinger para el potencial de Lennard-Jones $$ V(r)= 4\epsilon\left[\left(\frac{\sigma}{r}\right)^{12} -\left(\frac{\sigma}{r}\right)^6\right] $$ no se puede hacer analíticamente, pero cerca de los mínimos de $r_0=2^{1/6}\sigma$ uno puede expandirse para obtener $$ V(r)\aprox -\epsilon+ \frac{18\ 2^{2/3} \epsilon (r-r_0)^2}{\sigma ^2} $$ que, hasta un poco importante y constante cambio en $r$, es un oscilador armónico potencial para que las soluciones son conocidas. Por lo tanto, podemos obtener algunas aproximado de insight (o al menos de algunos órdenes de magnitud) en el correspondiente transiciones moleculares.

Por supuesto, el gran cuidado debe ser tomado para asegurar que las suposiciones detrás de la expansión no son violados por las soluciones, es decir, uno debe entender que las soluciones obtenidas son aproximados y pueden fallar mal en algunos casos.

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Santosh Bachkar Puntos 26

Considere la función $f(x)$ definido por $$ f(x)\equiv \int^\infty_{-\infty} ds\ \big(\exp(-s^2-xs^4) - \exp(-s^2)\big). \etiqueta{1} $$ Cuando $x=0$, obtenemos $f(0)=0$. Lo que si queremos saber el valor de $f(x)$ cuando $x$ es un muy pequeño número positivo? No sabemos cómo evaluar esta integral exactamente y de manera explícita, y acaba de decir que el resultado va a ser "cercano a cero" no es muy esclarecedor.

Podemos evaluar la integral numéricamente, sino que requiere de un equipo (o una persona muy paciente con un montón de tiempo), y si hacemos el cálculo de esa manera, entonces tenemos que volver a hacerlo para cada nuevo valor de $x$ que nos interesa.

Una alternativa es ampliar en potencias de $x$: $$ f(x) = \int^\infty_{-\infty} ds\ (-xs^4)\exp(-s^2) + \int^\infty_{-\infty} ds\ \frac{(-xs^4)^2}{2!}\exp(-s^2) + \int^\infty_{-\infty} ds\ \frac{(-xs^4)^3}{3!}\exp(-s^2) +\cdots \etiqueta{2} $$ Cada término de esta expansión es una primaria integral, los cuales pueden ser evaluadas de forma explícita, así que se termina una serie en potencias de $x$ con explícita numéricos de los coeficientes. La expansión no convergen (se trata de una expansión asintótica), pero si $x$ es lo suficientemente pequeño, entonces los primeros términos de dar una buena aproximación, y no tenemos que volver a calcular los coeficientes de cada vez que queremos probar un nuevo valor de $x$.

Ejemplos como este son en todas partes en la física. Este ejemplo particular es el de una sola variable la versión de una integral que se presenta en el tipo más simple de no trivial de la teoría cuántica de campos ("$\phi^4$ modelo").

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Keith Puntos 482

En general, se utiliza lo que funcione para aprender algo sobre el sistema.

Exacta solución exacta si se puede. Pero demasiado a menudo que no es possiblr.

Así, el uso de cualquier técnica te gustaría aprender algo sobre el comportamiento.

Resulta que la expansión perturbativa a menudo puede ser utilizado, generalmente es significativa en torno a un estado estable y es muy útil. Así, se convierte en una de oro de martillo.

Sin embargo, es bueno ser escéptico en cuanto a la validez en un caso dado. Para los sistemas en un estado muy lejos de una estable mínima de estas técnicas son a menudo no es válida en absoluto.

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