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¿Por qué la definición "$p$ se llama 'prime' si$p\mid ab\implies p\mid a\,\text{ or }\,p\mid b$" se sostiene cuando cuadramos números?

Así que, me han dado la definición real de un primer para el primer tiempo, en contraposición a la definición de una irreductible que me fue enseñado previamente (como es habitual), se va como sigue:

Un elemento $p$ de un anillo de $R$ es llamado "prime" si $a,b\in R$ e $p|ab\rightarrow p|a$ o $p|b$

$4^2 = 16$. De manera inversamente $4|16$. Ahora echemos un vistazo a todas las combinaciones de dos números enteros $a,b\in R$ donde $ab = 16$ e si $p|a$ o $p|b$:

$1 * 16$ ($4|16$)

$2 * 8$ ($4|8$)

$4 * 4$ ($4|4$)

Por mi lógica, $4$ es primo.

Sin embargo, como todos sabemos, $4 = 2^2$. Pero $2$ no es una unidad de $4$ es una irreductible. Desde el anillo de los enteros es una parte integral de dominio $4$ debe ser por lo tanto el primer como el bien. ¿Por qué sucede esto?

Editar

Gracias por su ayuda a todos. Entiendo tus respuestas de manera lógica y experimentalmente, pero realmente no es conceptualmente. La razón de esta definición de las obras (desde mi punto de vista) porque lo que dices de que

Un número es primo si es necesario para representar a sus múltiples en factorisations.

Cual factorisations, me refiero a $8 = 2^3, 6 = 2*3$ y pertinencia $16 = 2^4$.

La respuesta tenía una especie de espera a partir de esta pregunta (y se va a incluir en mi consulta original hasta que se me olvidó), más en general, si existe el producto de cualquier cantidad de números que es equivalente a $ab$ y para cada uno de los números de $n$, $n$ es suficiente $p|n$ entonces $p$ es compuesto.

Esto hace mucho más sentido para mí, lógicamente. En el caso de $16$ usted dice que usted no necesita $4$ a expresar $16$ desde su lugar, puede utilizar $2*2*2*2$ o $2^4$ a representar la misma cosa. Por esta razón, $4$ es compuesto.

Por esta lógica, no es necesario probar que para cada múltiplo de 4, sólo 1. Me tiene completamente confundido a mí mismo? Alguien puede proporcionar un contra-ejemplo? También, podría proporcionar una explicación de por qué mi lógica no funciona?

Edit 2

Sí todo el mundo, la definición correcta de incluye el control de los factores de cada $ab$ tales $p|ab$. Sin embargo, como @Vicente y me mostró en nuestras respectivas respuestas (el primero, mucho mejor) la definición que se utiliza es equivalente a la definición de todos los demás es el uso integral de los dominios. Yo sugiero que lea @Vicente respuesta como él lo hace muy claro.

Independientemente, no estoy de aceptar cualquier respuesta que dice simplemente que mi definición es malo cuando es realmente equivalente.

22voto

Michael Rozenberg Puntos 677

Tome $\mathbb Z$ e $12$.

$12$ se divide por $4$.

$12=6\cdot2$, pero $6$ no está dividido por $4$ e $2$ no está dividido por $4$, que dice que $4$ no es primo.

14voto

ilkkachu Puntos 1

Vamos a tomar un paso más allá de la última línea:

$4 \mid 4 \implies 4 \mid 2\cdot2$, pero $4 \mid 2 $ no poseen, por lo $4$ no es un número primo. (Tenemos $a = b = 2$, $p=4$)


Volviendo a su definición:

Un elemento $p$ de un anillo de $R$ es llamado "prime" si $a,b\in R$ e $p|ab\rightarrow p|a$ o $p|b$

Como fue mencionado en los comentarios, el implícita requisito es que esto aplica para todos los $a$ e $b$.

Usted está tratando el caso de $4$ primos, por lo $p=4$. Dejando $a=2$ e $b=2$ es un contraejemplo, lo que muestra que $4$ no es un número primo.

La definición de la realidad dice que una multiplicación no puede hacer nuevos factores primos aparecen, sino que todos los factores primos deben estar presentes en la composición de (al menos uno) de los multiplica los elementos.


Si fuera suficiente para encontrar cualquier par $a,b$ satisfacción $p|a$ e $p|b$ hacer $p$ un primo, entonces se podría demostrar fácilmente que cualquier número es primo. Sería más sencillo dejar que $a = b = p$, pero esa es la cuadratura que usted ya hizo. Así que vamos a probar con, por ejemplo, $a = 12$, $b=18$, $p=6$:

$6\mid 216$ e $216 = 12\cdot 18$, por lo que desde $6\mid 12$ e $6\mid 18$, a continuación, $6$ es primo. Este es, por supuesto, no tiene sentido.

5voto

Val Puntos 61

Volviendo a tu ejemplo, con $p=16$.

Si elijo $a=12$ e $b=4$, entonces he a$p | ab$, pero ni $p|a$ ni $p|b$. Por lo tanto, $p$ no es primo.

La definición requiere que usted considere cualquier $a, b$ tal que $p|ab$, no sólo aquellos que $p=ab$.

4voto

Vincent Puntos 635

Esta es una respuesta a la aceptación de responder más que a la pregunta, pero creo que eso está bien, ya que ambos son planteados por el mismo cartel.

NOTA: HE CAMBIADO ALGUNAS COSAS DESPUÉS DE LEER DARIJ COMENTARIO

La cuestión parece ser que de las cuatro definiciones de primer elemento es el "correcto". Insisto en que las definiciones aquí, pero vamos a definir cuatro tipos de elementos (prime1, prime1', prime2, prime3). La razón de esto es algo difícil de notación es la que nos permite decir cosas como "El elemento $4 \in \mathbb{Z}$ es prime2 pero no prime1' y saber exactamente de qué estamos hablando.

Así que aquí están las definiciones.

Un elemento $p$ en un anillo de $R$ se llama prime1 si no es una unidad y $\forall a, b \in R$ tal que $p|ab$, $p|a$ o $p|b$. Esta es la definición que se utiliza en la mayoría de las otras respuestas.

Un elemento $p$ en un anillo de $R$ se llama prime1' si no es una unidad y $\forall c \in R$ tal que $p|c$, y para todos los $a, b \in R$ tal que $ab = c$, $p|a$ o $p|b$. Esta definición aparece en el aceptado la respuesta, aunque en ese momento el OP parece haber dejado de creer que es la correcta.

Yo uso los nombres prime1 y prime1 " para hacer énfasis en que estas definiciones son realmente idénticos. Sólo trato de pensar durante 2 segundos lo que usted necesita hacer para demostrar que un elemento $p$ no es prime1 o no prime1'. En ambos casos equivale a la misma cosa: encontrar dos elementos ($a, b$) que no son divisibles por $p$ , mientras que su producto ($c$).

Las cosas se ponen más interesantes cuando invocamos a los otros dos definiciones.

Un elemento $p$ en un anillo de $R$ se llama prime2 si no es una unidad y $\exists c \in R$ tal que $p|c$ e $\forall a, b \in R$ tal que $ab = c$ tenemos que $p|a$ o $p|c$. Esta definición es la nada escrito explícitamente, pero es muy fuertemente implícitamente presente en la pregunta original.

Un elemento $p$ en un anillo de $R$ se llama prime3 si no es una unidad y $\forall c \in R$ tal que $p|c$, y para todos finito $S \subset R$ tal que $\prod_{s \in S} = c$, hay un $s \in S$ tal que $p|s$. Esta definición es la propuesta por la OP en la aceptó respuesta como la "correcta".

Ahora el contenido de la pregunta original es que el número de $4 \in \mathbb{Z}$ es prime2, mostrando que "prime2-ness' no es una buena manera de generalizar 'primeness' (primalidad) de números enteros arbitrarios de los anillos. Muy bonito, nunca he pensado en eso antes. Sin embargo, por ahora eso significa que prime2 es como un candidato a la definición de "primer" y la carrera es entre prime1 y prime3. (Ignoro prime1' por el momento como es idéntico a prime1).

El contraejemplo de la OP está pidiendo que parece ser un número natural que es prime3 pero no prime en el sentido ordinario. De hecho ya sería interesante ver cualquier elemento de cualquier integrante de dominio que es prime3 pero no prime1 o prime1 pero no prime3. El punto de mi respuesta es: estos elementos no existen. Concretamente, tenemos:

Teorema 1: deje $R$ integrante de dominio. A continuación, cada elemento que se prime3 es también prime1

Teorema 2: deje $R$ integrante de dominio. A continuación, cada elemento que se prime1 es también prime3.

Juntos los teoremas decir que las dos definiciones son equivalentes y, por tanto, que la elección de la una sobre la otra es una cuestión de gusto (o pedagogía) y no cambia nada matemáticamente.

Voy a probar los teoremas siguientes.

Demostrar el Teorema 1 es muy fácil, no hay casi nada que hacer. Tenemos un elemento $p$ que es prime3 y elementos $a, b$ tal que $p|ab$. Tomando $c = ab$ e $S = \{a, b\}$ vemos que a partir de prime3-nidad de $p$ que $p|a$ o $p|b$ , lo que implica que $p$ es prime1. Final de la prueba.

Demostrar el Teorema 2 es un poco más complicado.

Deje $p$ ser un prime1 elemento de $R$. Deje $c$ cualquier elemento de $R$ tal que $p|c$ y deje $S \subset R$ ser cualquier conjunto finito tal que $\prod_{s\in S} s = c$. Tenemos que mostrar que hay un elemento $s \in S$ tal que $p|s$ a fin de demostrar que $p$ es prime3. Hacemos esto por inducción sobre el número de $n$ de los elementos de $S$.

El primer obstáculo que tenemos que enfrentar es el hecho de que si $n = 0$ entonces nuestra meta es inalcanzable: claramente en un conjunto vacío no hay ningún elemento $s$ tal que $p|s$. Por suerte en este caso no se produce! El punto es: el producto de todos los elementos de un conjunto vacío es de 1 por definición. Pero si $c = 1$ e $p|c$ entonces $p$ es una unidad, lo que contradice su prime1-ness. Así que este caso no puede ocurrir.

Nos movemos en el caso de $n = 1$. Si $S$ contiene un solo elemento, es evidente que este elemento debe ser el elemento $c$, que fue el producto de todos los elementos. Pero ya sabemos que $p|c$ y así, en efecto, $p$ divide una (o más bien: el elemento de $S$.

Ahora vamos a $n \geq 2$ y suponemos que (Inducción de la Hipótesis") que para todos los $a \in R$ con $p|a$ y todos los $S' \subset R$ con $n-1$ elementos que $\prod_{s \in S'} s = a$ tenemos que $p$ divide algún elemento de $S'$.

Todavía estamos trabajando con la $n$-element set $S$ y etiquetar los elementos $s_1, s_2, \ldots, s_{n-1}, s_n$. Deje $a = s_1 \cdot s_2 \cdots s_{n-1}$ e $b = s_n$. A continuación, $ab = c$ y, por tanto, $p|ab$ y, por lo tanto, desde el $p$ es prime1 tenemos que $p|a$ o $p|b$. En el segundo caso vemos que $p|s_n$ y por lo tanto vemos que $p$ divide un elemento de $S$ como queríamos demostrar. En el primer caso se establezca $S' = \{s_1, \ldots, s_{n-1}\}$. Desde $p|a$ sabemos, a partir de la Inducción de la Hipótesis de que la $p$ divide algún elemento de $S'$. Pero cada elemento de a$S'$ es también un elemento de $S$, por lo que en este caso tenemos que $p$ divide un elemento de $S$ como bueno, como queríamos demostrar.

Final de la prueba.

En resumen: la nueva definición de su respuesta y la definición antigua de las otras respuestas son equivalentes y los mismos elementos de $R$.

3voto

David R. Puntos 307

He aquí cómo me gustaría reformular:

Un elemento $p$ de un anillo de $R$ se llama el primer si por cualquier combinación de $a, b \in R$ tal que $p \mid ab$, al menos un de $p \mid a$ o $p \mid b$ también es cierto.

Así que si $p = a = b = 4$ vemos que $p \mid ab$ y, a continuación, $p \mid a$ e $p \mid b$ son trivialmente verdadera. Pero esa no es la única combinación posible de $a$ e $b$ que podemos elegir para que $p \mid ab$. Usted ya se han descubierto dos más. Pero de hecho, hay infinitamente muchos más.

Basta con elegir uno en el que $a = 2$ e $b \neq \pm 2$ a pesar de que es individualmente, incluso (que es, no divisible por $4$). Así, por ejemplo, $b = 14$, entonces tenemos que $4 \mid 28$ e $28 = 2 \times 14$, pero $2$ no es divisible por $4$ y tampoco es $14$. Por lo tanto $4$ no es primo.

Estoy seguro de que usted puede generalizar esto a las plazas de impares, números primos. Sólo mis dos centavos.

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