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Determinación de los dígitos faltantes de$15! \equiv 1\square0767436\square000$ sin calcular realmente el factorial

$$15! \equiv 1\cdot 2\cdot 3\cdot\,\cdots\,\cdot 15 \equiv 1\square0767436\square000$$

El uso de una calculadora, sé que la respuesta es $3$ e $8$, pero sé que la respuesta puede ser calculado con la mano.

Cómo calcular los dígitos que faltan? Sé que gran factoriales puede ser estimado usando la aproximación de Stirling: $De$15! \approx \sqrt{2\pi\cdot 15} \cdot \left(\frac{15}{e}\right)^{15}$$ que no es factible calcular a mano.

El número resultante debe ser divisible por 9 lo que significa que la suma de dígitos debe agregar hasta 9 y también es divisible por 11 lo que significa que la alternancia de suma de dígitos debe ser divisible por 11:

$1+ d_0 + 0 + 7 +6 +7 +4 +3+6+d_1+0+0+0 \mod \phantom{1}9 \equiv \,34 + d_0 + d_1 \mod \phantom{1}9 \equiv 0 $ $-1+ d_0 - 0 + 7 -6 +7 -4 +3-6+d_1-0+0-0 \mod 11 \equiv d_0 + d_1 \mod 11 \equiv 0 $

Los dígitos $3$ e $8$o $7$ e $4$, cumplir con ambos requisitos.

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rlpowell Puntos 126

Otra manera de razonar es la nota que $15!$ es divisible por $2\cdot4\cdot2\cdot8\cdot2\cdot4\cdot2=2^{11}$, lo que significa que $1\square0767436\square$ es divisible por $2^8$. En particular, es divisible por $8$. Pero desde $8\mid1000$ e $8\mid360$, el final de la $\square$ debe ser $0$ o $8$. Pero no puede ser $0$, desde el $15!$ tiene sólo tres poderes de $5$ (de $5$, $10$, e $15$), y los que ya estaban contabilizados en los últimos tres $0$'s de la serie. Por lo tanto el final de la $\square$ es $8$. Expulsar $9$'s ahora revela que el primer $\square$ es $3$.

Comentario: no era estrictamente necesario para determinar la potencia exacta de $2$ (es decir, $2^{11}$) que divide $15!$, simplemente que $2^6$ divide, pero no era muy difícil de hacer.

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egreg Puntos 64348

Usted puede echado $9$'s y $11$'s: \begin{align} 1+x+0+7+6+7+4+3+6+y+0+0+0&=x+y+34 \\ 1-x+0-7+6-7+4-3+6-y+0-0+0&=-x-y \end{align} Por lo tanto $x+y=11$ (no puede ser $x=y=0$).

A continuación, encontrará el resto modulo $10000$; desde $$ 15!=2^{11}\cdot 3^6\cdot 5^3\cdot 7^2\cdot11\cdot13=1000\cdot 2^8\cdot3^6\cdot7^2\cdot 11\cdot 13 $$ esto significa encontrar el resto modulo $10$de $$ 2^8\cdot3^6\cdot7^2\cdot 11\cdot 13 $$ que da $8$ con un breve cálculo.

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Darkice Puntos 141

Usando la regla de divisibilidad para 7, la respuesta se reduce a 3 y 8:

$-368+674+307+1 \mod 7 \equiv 0$

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fleablood Puntos 5913

Bueno, $15! = 1*2*3..... *15=1a0767436b000$.

Por qué terminar con $000$? Bueno, obviamente porque $5,10,15$ todos dividir en ella, por lo $5^3$ se divide en ella y al menos tres copias de $2$ divid en ella, por lo $2^3*5^3 =1000$ brecha en él.

Si dividimos $15!$ por $100 = 8*5^3$ tenemos

$1a0767436b = 1*2*3*4*6*7*9*2*11*12*13*14*3$

Si queremos encontrar el último dígito de que podemos hacer

$1a0767436b \equiv b \pmod {10}$ y

$1*2*3*4*6*7*9*2*11*12*13*14*3\equiv 2*3*4*(-4)*(-3)*(-1)*2*1*2*3*4*3\equiv$

$-2^9*3^4 \equiv -512*81\equiv -2 \equiv 8\pmod {10}$..

Por lo $b = 8$.

Pero, ¿qué es $a$?

Bien, $11|1a0767436b$ e $9|1a0767436b$.

Por lo $1+0+6+4+6 - a - 7-7-3-b = 11k$ para algunos entero $k$. Y $1+a+0+7+6+7+4+3+6+b = 9j$ para algunos entero $j$.

Por lo $-a -8 =11k$ fin $0\le a \le 9$ tenemos $a = 3$.

Y que es eso de las $15! = 1307674368000$..... SI asumimos que la persona que hizo esta pregunta estaba diciendo la verdad.

Sabemos que $15!$ termina con $.... 8000$ pero estamos completamente de alguien más palabra que comienza con $1a0767436....$

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Farrukh Ataev Puntos 21

Deje $d_1$ e $d_2$ ser dos desconocidos dígitos.

El número debe ser divisible por $8000$, debido a $15!$ contiene $8$ e $1000$.

$d_2$ es número distinto de cero, debido a que $15!$ contiene sólo tres $5$s. Esto implica $1d_10767436d_2$ debe ser divisible por $8$. Esto implica $36d_2$ es divisible por $8$. Por lo tanto, $d_2=8$.

Ahora usted puede utilizar la divisibilidad por $9$ ($d_1+d_2=11$) y encontrar $d_1=3$.

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