4 votos

Demostrando que $5^n-1$ es divisible por $4$ $n\geq 0$ por inducción

Espero que esto no cuenta como un duplicado, como me gustaría saber si mi prueba es válida:

$P(n): 5^n - 1$ es divisible por $4$$n \ge 0$.

Base Paso: $P(0): 5^0-1 = 1-1 = 0 = 0\times 4$.

Inducción Suposición: $P(k): 5^k-1$ es divisible por $4$.

Probar: $P(k+1): 5^{k+1}-1$ es divisible por $4,$ o, equivalentemente,$5^{k+1}-1 = 4r$, para algún entero $r$.

$5^{k+1}-1$

$= 5^k\times5-1$ por Exponente Leyes

$= 5\times4r$ por I. H.

$=4(5r)$ que iba a ser mostrado.

4voto

Rob Puntos 123

...o sin directa de inducción, utilizando

$$A^n-B^n=(A-B)\left((A^{n-1}+A^{n-2}B+\ldots+AB^{n-2}+B^{n-1}\right)$$

...que está demostrado, por supuesto, con la inducción... :) y , a continuación,

$$5^n-1=5^n-1^n=\overbrace{(5-1)}^{=4}(5^{n-1}+5^{n-2}+\ldots+5+1)$$

que es entonces trivialmente visto para ser divisible por $\;4\;$ .

La manera en que lo hizo estaba bastante cerca, pero su línea antes de que la última está mal:

$$5^{k+1}-1=5\cdot5^k-1=4\cdot5^k+(5^k-1)$$

y el primer sumando es trivialmente divisible por cuatro, mientras que la segunda es por la hipótesis inductiva.

3voto

Kshitij Saraogi Puntos 103

Sería mejor si usted mostró la transición entre el "exponente de la ley de paso" y "I. H." paso claramente de la siguiente manera:

$$5^{k+1}-1=5\times 5^k-1=5\times (4p+1)-1=4(5p+1)\equiv 0\pmod4$$

donde $p$ es un número entero tomado en el I. H. para representar la divisibilidad por $4$.


Sólo demostrando una solución alternativa, esto puede ser probado en una línea usando aritmética modular.

$$\forall~n\in\Bbb{Z_0^+}~,~5^{n}-1=(4+1)^n-1\equiv 1^n-1\equiv 1-1\equiv 0\pmod4$$

2voto

Yves Daoust Puntos 30126

La prueba está mal porque

$$5^k\cdot5-1\ne5\cdot4\cdot r$$ (tome $k=1$ o más como un contraejemplo.)

Parece que has confundido $$5^k\cdot5-1$$ with $$5\cdot(5^k-1),$$ que es muy diferente.

La deducción es correcta $$5^k\cdot5-1=(5^k-1+1)\cdot5-1=(4r+1)\cdot5-1=4\cdot5\cdot r+4=4.(5\cdot r+1)=4\cdot r'.$$

1voto

idlefingers Puntos 15957

Para $n=1$ tenemos $5^{n} - 1 = 5 - 1 = 4.$

Supongamos que hay un $n \geq 1$ tal que $5^{n} - 1 = 4k$ algunos $k$. Entonces $$5^{n+1} - 1 = 5(5^{n} - 1) + 4 = 20k + 4,$$ así $$4 \mid (5^{n+1} - 1).$$

0voto

Aditya Agarwal Puntos 2671

El caso Base es ACEPTAR. Supongamos ahora que para cualquier $n=k$, $5^k-1=4p$ --(i) para un entero p.
Queremos demostrar que $5^k.5-1=4q$ para un entero q.
$5^k.5-5+5-1=4q$
$5(5^k-1)+4=4q$
$5.4p+4=4q$ ((i))
$4(5p+1)=4q$
$q$ es un número entero. Por lo $5p+1=q$ también será un número entero. De ahí resultó.

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