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Lebesgue integración: $f = g$.e. $ \Rightarrow \int_\Omega f = \int_\Omega g$

Deje $f,g : \Omega \subseteq \mathbb R^n \rightarrow [0,+\infty]$ ser medibles funciones con $f(x) = g(x)$.e. . Entonces tengo que mostrar que $\int_\Omega f = \int_\Omega g$.

Yo no puede asumir que $\int_\Omega (f+g) = \int_\Omega f + \int_\Omega g$.

Esta tarea es de Tao Proposición 19.2.6.

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Ola Puntos 189

Usted puede demostrar que el conjunto de $$ \{ \int_\Omega s : 0\leq s\leq f\}=\{\int_\Omega s : 0\leq s\leq g\}$$ por el uso de una doble inclusión argumento y el hecho expuesto en los comentarios de la pregunta original que las funciones simples que igual en casi todas partes tienen las mismas integral. Por lo tanto, su supremums son iguales que, respectivamente, iguales a los de las integrales que usted desea.

Los juegos que he mencionado anteriormente son equivalentes a lo que Tao llamadas "funciones simples que minorize $f$."

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Amr Puntos 12840

La definición de integración que estoy utilizando: El predicado $CSM(p)$ es una abreviación de $p$ tener una contables de la gama y de la $p$ es una función medible. Deje $p:X\rightarrow [0,\infty]$ ser una función tal que $CSM(p)$. Vamos a definir la integral de $p$ ser: $$\int_X p\ d\mu=\sum_{a\in p(X)}a\mu(p^{-1}(\{a\}))$$ Ahora vamos a $f:X\rightarrow [0,\infty]$ ser cualquier función medible, podemos definir la parte superior e inferior de las integrales de $f$ como:

$$\int_{X}^{*}f\ d\mu=\inf\{\int_{X} p \ d\mu|p:X\rightarrow[0,\infty],CSM(p),\mu(\{x\in X|f(x)>p(x)\}=0\}$$ $$\int_{*X}^{}f\ d\mu=\sup\{\int_{X} q \ d\mu|q:X\rightarrow[0,\infty],CSM(q),\mu(\{x\in X|f(x)<q(x)\}=0\}$$

Por último, decimos que la integral de $f$ existe iff $\int_{X}^{*} f\ d\mu=\int_{*X}^{}f\ d\mu$ y se denota $\int_X f\ d\mu$.

Para demostrar su teorema Comprobar que si $f=g$ $\mu.a.e$ entonces:

1) Para todas las funciones medibles $p$ , $f\leq p$ una.e. iff $g\leq p$.e.

2) Para todas las funciones medibles $q$ , $f\geq q$ una.e. iff $g\geq q$.e.

Finalmente deducir que la parte superior e inferior de las integrales de $f,g$ son iguales.

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