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Hay maneras de gran alcance para el uso de la definición topológica de la continuidad en el análisis real?

En las conferencias de presentación, análisis real, mi profesor dijo en repetidas ocasiones a la clase que la definición topológica de la continuidad (preimagen de abiertos es abierta) es la versión más potente de la continuidad, más útil...

A continuación, el único ejemplo que se le ocurrió fue ....

Ejemplo: Demostrar $S = \{x| `{\text{extraño, poco práctico y, obviamente, ad hoc de la desigualdad aquí}}"\}$ está abierto

A continuación, el lado izquierdo de esta extraña desigualdad es una función continua y la desigualdad es un conjunto abierto y la preimagen $f^{-1}$ en ese conjunto abierto es abierto, por lo tanto $S$ está abierto.

Entonces nosotros nunca hablamos acerca de esto otra vez y nunca surgió en cualquier otro contexto como mucho puedo recordar.

Pregunta, ¿hay más ejemplos prácticos/formas de uso de la versión topológica de continuidad en el análisis real?

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Paul Sinclair Puntos 6547

Llamando a los "más poderosos" es obviamente erróneo, como el pointwise definición de continuidad implica la "preimagen de abiertos es abierta" de la definición de continuidad global, mientras que también permite que usted para discutir las funciones que no son globalmente continua.

Pero globalmente funciones continuas, es muy útil la caracterización. Por ejemplo:

Teorema: La imagen continua de un compacto es compacto.

Prueba: Supongamos $f : X \to Y$ y deje $A \subset X$ ser compacto. si $\mathscr S$ es una cubierta abierta de a$f(A)$, $\{f^{-1}(S)\mid S \in \mathscr S\}$ es una cubierta abierta de a $A$, y así debe tener un número finito de subcover $\{f^{-1}(S_i)\}_{i=0}^n$. Pero, a continuación, $\{S_i\}_{i=0}^n$ debe ser un subcover de $f(A)$. Por lo tanto, $f(A)$ es compacto.

Teorema: la imagen continua de un conjunto conectado está conectado.

Prueba: Supongamos $f : X \to Y$ y deje $A \subset X$. Supongamos $f(A)$ está desconectado. A continuación, hay conjuntos de $U, V$ $Y$ tal que $U \cap f(A) \ne \emptyset, V \cap f(A) \ne \emptyset, U \cap V = \emptyset$$ f(A) \subset U\cup V$. Pero, a continuación,$f^{-1}(U) \cap A \ne \emptyset, f^{-1}(V) \cap A \ne \emptyset, f^{-1}(U) \cap f^{-1}(V) = \emptyset$$A \subset f^{-1}(U)\cup f^{-1}(V)$. Desde $f^{-1}(U)$ $f^{-1}(V)$ están abiertas, se forma una desconexión de $A$. Por el contrapositivo, si $A$ está conectado, la es $f(A)$.

Hay dos muy poderosos resultados probados fácilmente a través de la "topológica" de la definición de continuidad. Pero el argumento es estrictamente topología. Entonces, ¿qué es el análisis? Recordar la de Heine-Borel teorema: un subconjunto de a $\Bbb R$ es compacto si y sólo si es cerrado y acotado. Y recordemos que un subconjunto de a $\Bbb R$ está conectado si y sólo si es un intervalo.

Los dos resultados anteriores, a continuación, dispone de dos corolarios:

El Valor extremo Teorema: Si $f$ es continua en el intervalo cerrado $[a,b]$, entonces no existe $c, d \in [a, b]$ tal que para todos los $x \in [a,b], f(c) \le f(x) \le f(d)$.

Prueba: $f([a, b])$ es compacto y conectados, y por lo tanto es cerrado y acotado intervalo: $f([a,b]) = [m,M]$. Por lo tanto, hay $c, d \in [a,b]$$f(c) = m$$f(d) = M$, y para cualquier $x\in[a,b], f(x) \in [m,M]$, y por lo $f(c) \le f(x) \le f(d)$.

Teorema del Valor intermedio: Si $f$ es continua en el intervalo cerrado $[a,b]$ y, o bien $f(a) < c < f(b)$ o $f(b) < c < f(a)$, entonces no es un $x \in (a,b)$ tal que $f(x) = c$.

Prueba: Como con el Teorema del Valor Extremo, $f([a,b])$ es un intervalo. Por lo tanto, cada elemento de dicho intervalo es la imagen de un punto en $[a,b]$.

Estos son dos de los más potentes de los resultados de análisis real. Y que siga fácilmente de la de Heine-Borel teorema cuando uno utiliza el "topológica" de la definición de continuidad. Probando desde el epsilon-delta definición es significativamente más involucrados.

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J.-E. Pin Puntos 5730

Aquí es un ejemplo muy simple. Si $f:\mathbb{R^n}\to \mathbb{R}$ es una función continua, y $c \in \mathbb{R}$, $f^{-1}(c)$ es un conjunto cerrado. Por ejemplo, la gráfica de la hipérbola $xy = 1$, que es el conjunto $\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid xy = 1 \}$, es cerrado. Del mismo modo, el círculo de $x^2 + y^2 = 1$ o más en general, el conjunto de ceros de una función polinómica, es cerrado.

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