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Cambio de fórmula variable para un mapeo no diferenciable.

Deje $\Omega \subset \Bbb R^n$. Para un diffeomorphism (o simplemente un diferenciable bijection) $\varphi:\Omega \to \varphi(\Omega)$, tenemos la fórmula $$ \int_{\Omega} f\circ\varphi^{-1}(x)\, dx = \int_{\varphi^{-1}(\Omega)} f(y)|D\varphi(y)| \,dy. $$

¿Cuánto podemos generalizar la clase en la que $\varphi$ es permitido mentir? Es suficiente que tenemos, dice, un bijection $\varphi\in W_{\text{loc}}^{1,\infty}(\Omega ;\Bbb R^n)$ o, incluso, $\varphi\in W_{\text{loc}}^{1,1}(\Omega ;\Bbb R^n)$?

¿Cuánto cuesta el resultado depende del dominio de $\Omega$? Hay una gran diferencia entre un compacto y un dominio abierto? ¿La regularidad de la frontera $\partial \Omega$ juega ningún papel?

También me gustaría saber si tienes una buena referencia para este tipo de resultado por lo que puedo leer más en este interesante tema. Feliz Año Nuevo a todos ustedes.

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Daniele Tampieri Puntos 116

Quizás uno de los más clases generales de mapas, definida en un conjunto a$\Omega \subset \Bbb R^n$, para que el cambio de las variables de la fórmula $$ \int\limits_{\Omega} f\circ\varphi^{-1}(x)\, \mathrm{d}x = \int\limits_{\varphi^{-1}(\Omega)} f(y)|D\varphi(y)| \,\mathrm{d}y \label{1}\etiqueta{1} $$ (o una adecuada generalización) sostiene que es la considerada por Piotr Hajłasz en [1]. Para describir sus resultados, es útil de manera preliminar a recordar algunos conceptos.

  • Una función de $u:\Omega \to \Bbb R$ es de aproximadamente totalmente diferenciable en a$x_0\in\Omega$ si no existe un verdadero vector de $\mathsf{D}u|_{x_0}=(\mathsf{D}u_1,\ldots,\mathsf{D}u_n)$ tales que, para cada $\varepsilon$, $x_0$ es un punto de densidad para el conjunto de $$ A_\varepsilon=\left\{ x\in\Bbb R\,\left|\;\frac{|u(x)-u(x_0)-\langle\mathsf{D}u|_{x_0},x-x_0\rangle|}{|x-x_0|}<\varepsilon\right.\right\} $$ Diciendo que $u$ es de aproximadamente totalmente diferenciable o es de aproximadamente totalmente diferenciable de una.e. debe tener un significado obvio.

  • La clase de, aproximadamente, totalmente diferenciable de una.e. las funciones se caracterizó por Hassler Whitney en [2], pp 144-147 (la declaración de Whitney es ligeramente diferente aunque equivalente a la reportada en [1] páginas 93-94), por el siguiente teorema 1: vamos a $u: E \to \Bbb R$ ser medibles, $E \subseteq \Bbb R^n$. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:
    (a) $u$ es de aproximadamente totalmente diferenciable de una.e. en $E$.
    (b) $u$ es de aproximadamente derivable con respecto a cada variable.e. en $E$.
    (c) Denota por $|\cdot|$ la medida de Lebesgue, para cada una de las $\varepsilon > 0$ existe un conjunto cerrado $F\subseteq E$ y una función de $v\in C^1(\Bbb R^n)$ tales que $$ |E\setminus F|<\varepsilon \text{ y }u|_F = v|_F. $$

  • Aproximadamente, totalmente.e. diferenciable mapa de $\varphi:\Omega \to \varphi(\Omega)$ es un mapa donde cada componente $\varphi_i$, $i=1,\ldots, n$ es de aproximadamente totalmente diferenciable de una.e. en su dominio de definición de $\Omega$.

  • Deje $\varphi:\Omega \to \Bbb R^n$. Decimos que $\varphi$ cumple la condición N (Lusin la condición) si por cualquier $E\subseteq\Omega$, $$ |E|=0 \implica |f(E)|=0. $$

  • Deje $\varphi:\Omega \to \Bbb R^n$, e $E\subseteq\Omega$. El Banach indicatrix es la función de $N_\varphi(\cdot ,E):\Bbb R^n\to \Bbb N\cup\{\infty\}$ definido por $$ N_\varphi(y, E) = \sharp(\varphi^{-1}(x) \cap E). $$ donde $\sharp$ denota la cardinalidad de medida de la serie dada.

Después de los preliminares podemos intentar responder a la OP preguntas:

¿Cuánto podemos generalizar la clase en la que $\varphi$ es permitido mentir?

Es un resultado principal de [1] (Teorema 2, §2 páginas 94-96) ,que una generalización de la fórmula \eqref{1} tiene para la clase de aproximadamente totalmente.e. diferenciable mapas.
Precisamente, el teorema 2 de [1] afirma que si $\varphi:\Omega \to \Bbb R^n$ es cualquier asignación, donde $\Omega \subseteq \Bbb R^n$ es arbitraria abrir subconjunto, la satisfacción de una de las condiciones (a), (b), (c) del teorema 1, entonces podemos definirla en un subconjunto de medida cero de tal manera que el nuevo $\varphi$ satisface la Lusin condición de $N$.
Si $\varphi$ satisface una de las condiciones (a), (b), (c) y la condición de $N$, a continuación, para cada función medible $f : \Bbb R^n \to \Bbb R$ y cada subconjunto medible $E$ de $\Bbb R^n$ las siguientes afirmaciones son verdaderas:

  1. Las funciones de $f(y)|D\varphi(y)|$ e $(f\circ\varphi^{-1}(x))N_\varphi(x, E)$ son medibles.

  2. Si por otra parte $f \ge 0$luego $$ \int\limits_E f(y)|D\varphi(y)|\mathrm{d}y = \int\limits_{\Bbb R^n} f\circ\varphi^{-1}(x)N_\varphi(x, E)\mathrm{d}x. \label{2}\etiqueta{2} $$

  3. Si una de las funciones de $f(y)|D\varphi(y)|$ e $(f\circ\varphi^{-1}(x))N_\varphi(x, E)$ es integrable, entonces también lo es el otro (integrabilidad de $f |D\varphi|$ refiere al conjunto de $E$) y la fórmula de \eqref{2} sostiene.

Tenga en cuenta que

  • Fórmula \eqref{2} se probó primero no negativos funciones de $f\ge 0$: el caso general sigue por la descomposición $f= f^+ − f^−$ ([1], §2 p. 96).

  • He modificado la notación de [1] con el fin de mostrar cómo la fórmula \eqref{2} es una generalización de la fórmula \eqref{1}, ya que este último de ellos, propuesto por el OP, no de estructura estándar (incluso si es perfectamente equivalente a la estándar).

Es suficiente que tenemos, dice, un bijection $\varphi\in W_{\text{loc}}^{1,\infty}(\Omega ;\Bbb R^n)$ o, incluso, $\varphi\in W_{\text{loc}}^{1,1}(\Omega ;\Bbb R^n)$?

Como recordó Hajłasz ([1], por ejemplo p. 94, y §3 p. 96), ya que las derivadas parciales de $\varphi\in W_{\text{loc}}^{1,1}(\Omega ;\Bbb R^n)$ mapas se definen una.e., estos satisfacen las condiciones (b) y (c) del teorema 1, lo que implica que el teorema 2 (y la fórmula \eqref{2}) sostiene que para ellos, $\varphi\in W_{\text{loc}}^{1,1}(\Omega ;\Bbb R^n)$ es suficiente para la validez de la fórmula \eqref{2}. Por otra parte Hajłasz ([1], §3 p. 96-98) es capaz de reforzar el teorema de estos mapas: sin embargo, esto requiere que la misma modificación mecanismo utilizado en el caso general, ya que hay continuas $W_{\text{loc}}^{1,1}(\Omega ;\Bbb R^n)$ mapas que no cumplen con los Lusin la condición de $N$.

¿Cuánto cuesta el resultado depende del dominio de $\Omega$? Hay una gran diferencia entre un compacto y un dominio abierto? ¿La regularidad de la frontera $\partial \Omega$ juega ningún papel?

Como se puede ver en las hipótesis del teorema 2, el dominio $\Omega$ es sólo supone un arbitrario abrir subconjunto de $\Bbb R^n$ y parece que su prueba se hace depender de la frontera de la estructura (regularidad) de el dominio, ni en su compacidad (siempre $\Omega$ no vacío interior, es decir, es compacto en el sentido de que tiene un pacto de cierre). Sin embargo, yo no he estudiado este papel con cuidado: quizás echo de menos algunas sutilezas de la prueba de que hacer mi declaración anterior impreciso/malo.

[1] Piotr Hajłasz (1993), "el Cambio de las variables de la fórmula con un mínimo de supuestos", Coloquio Mathematicum, 64, n. 1, pp 93-101, ISSN 0010-1354; 1730-6302/e, DOI 10.4064/cm-64-1-93-101, MR1201446, Zbl 0840.26009.

[2] Hassler Whitney (1951), "En totalmente diferenciable y suave funciones", Pacífico Diario de las Matemáticas, Vol. 1 (1951), Nº 1, 143-159, ISSN 0030-8730, DOI: 10.2140/pjm.1951.1.143, MR0043878, Zbl 0043.05803.

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