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Si$f$ es analítico y$f(z)^2$ =$\bar f(z)$ entonces$f$ es constante

Actualmente estoy atascado en el siguiente problema.

Sea f una función analítica en un conjunto abierto conectado no vacío V. Si $f(z)^2$ = $\bar f(z)$ $\forall z\in V$% entonces f es constante en V.

Creo que debería estar trabajando con el teorema del módulo máximo, pero no estoy seguro de cómo usarlo.

6voto

NothingsImpossible Puntos 554

No hay necesidad de. Primera resolver $$ Z^2=\bar{Z}\qquad (1) $$ Eq.(1) implica $Z^3=|Z|^2$ que ha $S=\{1,j,j^2,0\}$ como conjunto de soluciones, con $$ j=e^{\frac{2\pi}{3}} $$ entonces, incluso una función continua $f:V\to S$ no puede "saltar" (debido al hecho de que $V$ está conectado) y, como $S$ es finito, $f$ debe ser constante. Espero que esto ayude.

2voto

Roger Hoover Puntos 56

$$\|f(z)\|^2 = \|f(z)^2\|=\|\overline{f}(z)\|=\|f(z)\| $$ por lo $\|f(z)\|$ es $0$ o $1$, constantemente, ya que $\|f(z)\|$ es continua. En el primer caso, $f(z)\equiv 0$, en el segundo, el rango de $f$ es un subconjunto de a$S^1$. Hay sólo tres puntos en $S^1$ tal que $\xi^2=\overline{\xi}$, por lo que nuestro $f$ está en constante $0$, $1$, $\omega$ o $\omega^2$.

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