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¿Cómo podemos ver que la prueba de estos siguientes problemas de análisis real es razonable?

Problema: Vamos a $f(x)$ ser una verdadera valores de las funciones definidas en $\mathbb{R}$, probar que el conjunto de puntos $$E = \{x\in \mathbb{R}: \lim_{y\rightarrow x} f(y) = +\infty\}$$ es finito o contable establecido.

Prueba: Supongamos $g(x) = \arctan f(x), x \in \mathbb{R}$. Entonces el conjunto de puntos $E$ puede ser escrito como $$E = \{x\in \mathbb{R}: \lim_{y\rightarrow x} g(y) = \frac{\pi}{2}\}$$ Therefore $E$ es finito o contable establecido.

La de arriba es la prueba de un libro de texto de análisis real. ¿Cómo podemos ver que el conjunto de $E$ en esta prueba es finito o contable?

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user609441 Puntos 18

Ahora, no tengo idea de por qué podemos ver de inmediato que $ E=\{ x\in \mathbb{R} \;|\;\lim_{y\a x} g(y) = \frac{\pi}{2}\} $ is at most countable. But I've found the following argument that shows the set $E$ es en la mayoría de los contables.


Prueba: Supongamos $x \in E$. Si $f(x)< n$, entonces a partir de la $\lim_{y\to x}f(y) =\infty$, podemos encontrar una $\delta>0$ tales que $$ (x-\delta x)\cup (x,x+\delta) \subconjunto f^{-1}((n,\infty)). $$ Now consider the open set $$U_n=\text{int}f^{-1}((n,\infty)) = \bigcup_{k=1}^\infty (\alpha_k, \beta_k)$$ where $\{(\alpha_k, \beta_k)\}$ is a disjoint family of open intervals. The above argument shows that $x$ is one of the end points $\alpha_k$ or $\beta_k$ of $U_n$ for some $n\ge 1$. Since there are at most countably many such end points, it follows that $E$ es contable. $\blacksquare$


Después de ver el argumento anterior, sentía que no es trivial y eso me hizo pensar que probablemente es el autor de la confusión, o puede ser que algunos de los resultados que el autor no mencionó.

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