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¿Qué tan rápido sube el líquido en un tubo capilar?

Tome un tubo de pequeño diámetro, que se pegue en el agua, y la tensión de la superficie va a conducir el fluido hacia arriba a través del tubo. ¿Qué tan rápido es el movimiento de líquidos a través de la sonda durante este proceso?

Aquí está mi intento:

Supuestos:

  1. Altamente hidrofílico del tubo y por lo tanto pequeño ángulo de contacto; esto le da un límite superior de la tensión superficial de la fuerza.
  2. El agua es aspirada a la media de la velocidad, que es desconocido y constante a lo largo del tubo. Decir instantáneos de la columna de fluido de altura es $h(t)$. Supongo que la velocidad del fluido es $v_z = dh/dt = \dot{h}$ a lo largo del tubo, incluso en la parte inferior, donde es absorbido.
  3. Yo, por tanto, necesita encontrar a $h(t)$ a fin de obtener la velocidad del fluido, $\dot{h}$ (que es también el ascenso capilar de la velocidad).

Voy a utilizar el control de volumen (CV) análisis y elija el volumen de control se muestra a continuación (roja discontinua región):

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El CV abarca la columna de fluido de altura $h(t)$ que está cambiando con el tiempo, por lo que el CV también tiene un volumen de cambiar con el tiempo. Las fuerzas de la CV incluir una superficie de fuerza de tensión de las $F_\sigma$, la fuerza de gravedad $F_g$, y la fuerza viscosa $F_\mu$.

Comenzando con un impulso equilibrio utilizando Reynold de transporte del teorema,

$$\sum F_z = F_\sigma -F_g-F_\mu = \frac{d}{dt}\int_{CV}{\rho v_zdV} + \int_{CS}{\rho v_z (\mathbf{v}-\mathbf{v_c}) \cdot \mathbf{n}dA}$$

Donde:

$$F_\sigma = 2 \pi R \sigma$$

$$F_g = \rho g h \pi R^2 $$

$$F_\mu = \mu \frac{\dot{h}}{R} 2 \pi R h = 2 \pi \mu \dot{h} h$$

$$ \frac{d}{dt}\int_{CV}{\rho v_zdV} = \rho \frac{d}{dt}(\dot{h} \pi R^2 h) = \rho \pi R ^2 (\ddot{h} h + \dot{h}^2)$$

$$ \int_{CS}{\rho v_z (\mathbf{v} \cdot \mathbf{n})dA} = -\rho \pi R^2 \dot{h}^2$$

La cancelación de $\pi$, y poner todos los términos de vuelta en el impulso de equilibrio,

$$2R\sigma - \rho g h R^2 - 2\mu \dot{h} h = \rho R^2(\ddot{h}h + \dot{h}^2) $$

Esta es una ODA para $h(t)$, que podría ser resuelto numéricamente. Por desgracia, es complicado y creo que no se puede resolver analíticamente.

EDITAR:

Mi derivación supone una velocidad lineal de perfil a la hora de calcular $F_\mu$. Podemos llegar a la de Lucas-Washburn-Rideal ecuación en mi respuesta por el Papa Zulu, si asumo el correcto Poiseuille perfil de velocidad para el flujo de la tubería. Esto afecta a mi expresión de $F_\mu$.

Un equilibrio de fuerzas en la tubería da

$$ F_\mu = \tau_w 2 \pi R h = \pi R^2 \Delta P$$

donde

$$\Delta P = h \frac{8v_z\mu}{R^2} = h \frac{8\dot{h}\mu}{R^2} $$

para Poiseuille el flujo de la tubería. Sustituyendo esto en el balance de la fuerza de expresión de $F_\mu$,

$$ F_\mu = \pi R^2 \Delta P = 8 \pi \mu h \dot{h}$$

Por lo tanto el final de la educación a distancia para $h(t)$ se convierte en:

$$2R\sigma - \rho g h R^2 - 8\mu \dot{h} h = \rho R^2(\ddot{h}h + \dot{h}^2) $$

EDIT 2:

La hipótesis 2 es validado con un simple conservación de la masa, empezando con Reynold de transporte del teorema para la masa:

$$ \frac{d}{dt}\int_{CV}{\rho dV} + \int_{CS}{\rho(\mathbf{v}-\mathbf{v_c}) \cdot \mathbf{n}dA} = 0$$

donde

$$ \frac{d}{dt}\int_{CV}{\rho dV} = \pi R^2 \rho \dot{h} $$

$$\int_{CS}{\rho(\mathbf{v}-\mathbf{v_c}) \cdot \mathbf{n}dA} = -\pi R^2 \rho v_{in}$$

por lo tanto, $v_{in} = \dot{h}$, y la velocidad a lo largo de la tubería no cambia si el fluido es incompresible.

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Mr Z. Puntos 18

La ecuación tiene derivada es esencialmente el de Lucas-Washburn-Rideal ecuación, que está dada por \begin{equation} \rho \pi R^2 \dfrac{d}{dt}\left( h \dfrac{dh}{dt} \right) = 2\pi R \sigma \cos(\theta) - \pi R^2\rho g h - 8\pi \mu h \dfrac{dh}{dt} \end{equation}

En las ecuaciones parece que han asumido el ángulo de contacto es igual a cero ($\theta =0$) y su fuerza viscosa es diferente por un factor de 4, probablemente debido a que el perfil de velocidad se ha asumido. Esta ecuación es difícil de resolver, pero si puede suponer pequeños capilares y relativamente fluido viscoso, puede descuidar el término en el lado izquierdo de la ecuación anterior. Esta es una no lineal de la educación a distancia, pero puede ser más fácil de tratar.

También una búsqueda rápida muestra que hay muchos artículos sobre este tema. He encontrado dos inmediato que puede ser de alguna utilidad:

  • El Ascenso capilar: Validez de la Dinámica del Ángulo de Contacto de los Modelos, Wu et al, Langmuir 2017.
  • Enfoque analítico para el Lucas–Washburn Ecuación, Hamraoui & Nylander, J. de Coloide y la Interfaz de la Ciencia, 2002.

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