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Límite de$\frac{1}{7}e^{-2x^2}(1-4x^2)$ como$x\to\infty$

Calculé la derivada de $\frac{x}{7}*e^{-2x^2}$ y obtuve $\frac{1}{7}e^{-2x^2}(1-4x^2)$ (lo incluí porque si no entendí bien, el resto no tiene sentido)

No sé cómo encontrar el límite de esta función: $$\frac{1}{7}e^{-2x^2}(1-4x^2)$$ I tried splitting it into two but I still don't know how to handle this$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{7}e^{-2x^2}+\lim_{x \to \infty} \frac{1}{7}xe^{-2x^2}*(-4x) $ $

9voto

KM101 Puntos 372

Pista : reescribe la expresión como

PS

Ahora, note el crecimiento del numerador y del denominador. ¿Cuál crece más rápido?

6voto

Thomas Shelby Puntos 121

Usando la regla de L'Hôpital, obtenemos \begin{align} \lim_{x\to \infty}\frac{1-4x^2}{7e^{2x^2}}&=\lim_{x\to \infty}\frac{-8x}{28\cdot xe^{2x^2}}\\ &=\lim_{x\to \infty}\frac{-8}{28e^{2x^2}}=0 \end {align} .

5voto

Rhys Hughes Puntos 11

Su derivado es correcto.

Luego colóquelo como:

PS

Utilice que, debido a que la exponenciación tiene un efecto mucho mayor que los índices, $$\frac{1-4x^2}{7e^{2x^2}}$ para un $e^{2x^2}>>4x^2$ suficientemente grande, para mostrar este límite es muy claramente $x$

4voto

Anthony Shaw Puntos 858

Tenga en cuenta que para $x\ge0$ , $$ \begin{align} e^x &=1+x+\frac{x^2}2+\dots\\ &\ge\frac{x^2}2\tag1 \end {align} $$ Así, $$ e ^ {- 2x ^ 2} \ le \ frac1 {2x ^ 4} \ tag2 $$ Aplicando $(2)$ a la expresión para el derivado da $$ \begin{align} \left|\frac17e^{-2x^2}\!\!\left(1-4x^2\right)\right| &\le\frac{4x^2+1}7\frac1{2x^4}\\ &=\frac2{7x^2}+\frac1{14x^4}\tag3 \end {align} $$

2voto

user101388 Puntos 71

Usted prácticamente tiene la solución. El siguiente límite: $$\frac{1}{7}\lim_{x\to \infty}\frac{1}{e^{2x^2}}=0.$ $

No creo que ese haya sido tu problema. El último bit es con lo que probablemente estabas teniendo problemas. Yo trataría de sustituirte. Dejemos que $u=x^2$ entonces tengamos lo siguiente: $$-\frac{4}{7} \lim_{u\to\infty}\frac{u}{e^{2u}}=0 $ $ según la regla de L'Hopitales

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