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¿Cómo se puede definir la frecuencia de resonancia de un oscilador amortiguado forzado?

Considere la posibilidad de un forzado, oscilador armónico amortiguado

$$\ddot{\phi} + 2\beta \dot{\phi} + \omega_0^2 \phi = j(t) \, .$$

Si elijo un sinusoidal fuerza impulsora $j(t) = A \cos(\Omega t)$, me parece

$$\phi(t) = \text{Re} \left[ e^{-i \Omega t} \frac{-A}{\Omega^2 - \omega_0^2 + 2i\beta \Omega} \right] \, .$$

A partir de aquí, ¿cómo definir la "resonancia"? Es el punto donde $\langle \phi(t)^2 \rangle$ es maximizado?

Las cosas que yo sé: La frecuencia a la que $\langle \phi(t)^2 \rangle$ es maximizada es $\omega_r = \omega_0 \sqrt{1 - 2(\beta/\omega_0)^2}$, pero he pensado que he leído/escuchado que la frecuencia de resonancia de un oscilador amortiguado es sólo $\omega_0$.

Yo también calculó que la libre de la frecuencia de la oscilación es $\omega_{\text{free}} = \omega_0 \sqrt{1 - (\beta / \omega_0)^2}$, pero no creo que es la misma cosa como la frecuencia de resonancia virtud de la constante de conducción.

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Oeufcoque Penteano Puntos 331

A partir de aquí, ¿cómo definir la "resonancia"?

En la resonancia, el flujo de energía a partir de la conducción de la fuente es unidireccional, es decir, el sistema absorbe energía durante todo el ciclo.

Al $\Omega = \omega_0$, tenemos

$$\phi(t) = \frac{A}{2\beta \omega_0}\sin\omega_0 t$$

así

$$\dot \phi(t) = \frac{A}{2\beta}\cos\omega_0 t$$

El poder $P$ por unidad de masa, entregado por la fuerza impulsora es entonces

$$\frac{P}{m} = j(t) \cdot \dot \phi(t) = \frac{A^2}{2\beta}\cos^2\omega_0 t = \frac{A^2}{4\beta}\left[1 + \cos 2\omega_0 t \right] \ge 0$$

Al $\Omega \ne \omega_0$ el poder será negativo sobre una parte del ciclo, cuando el sistema funciona en la fuente.

Lo que hemos etiquetado como $\omega_r$ es el de amortiguamiento de la frecuencia de resonancia o de pico de resonancia de frecuencia.

No calificados, el plazo de la frecuencia de resonancia se refiere generalmente a $\omega_0$, el no amortiguados frecuencia de resonancia o no amortiguados frecuencia natural.

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