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¿Cuántas de estas series armónicas modificadas convergen?

En mi curso de Análisis se demostró que la serie armónica se separaron, pero la alternancia de armónicos de la serie converge. Esto me puso a pensar:

¿Cuántas secuencias de $(a_n)$ donde $|a_n|=1/n$ hay tal que $\sum a_n$ converge?

Hay muy claramente, al menos, countably muchos (modificar el signo de la $n$th término de la alternancia de la serie y todavía tenemos convergencia), así que mi pregunta es, realmente, si hay una cantidad no numerable de dichas secuencias. Que debo pensar así, pero yo soy de no encontrar una buena razón.

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Oli Puntos 89

Podemos cambiar libremente los signos en los términos de la forma$\frac{1}{2^k}$ sin afectar la convergencia. Así que hay muchas secuencias de este tipo.

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