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Cómo utilizar los términos "fijo", "arbitrario", "fijo pero arbitrario", "dado", "para todos" ... en pruebas

Al principio me mudé de Matemática Aplicada de fondo a las Matemáticas Puras (escuela de Postgrado), las cosas eran muy difíciles en términos de pruebas, pero ellos han conseguido mucho mejor ahora. En esos momentos, no podía explicar lo que el siguiente significado en las pruebas;

  1. Deje $\epsilon>0$ ;
  2. Deje $n\in\Bbb{N}$ ser fijo;
  3. Deje $x\in\Bbb{R}$ ser fijo, pero arbitraria;
  4. Tome $n=N+1,$ para algunos $N\in\Bbb{N}$;
  5. En particular, para $\epsilon=1/2$;
  6. Deje $\epsilon'>0$, $\epsilon=\epsilon'/3$
  7. Tal que;
  8. Siempre,
  9. Para cada uno;
  10. Para todos, y muchos más.

Podría usted por favor, explicar estos detalles, tal vez, con algunos ejemplos? Es decir, cuándo y cómo utilizarlos para... Si tienes otros ejemplos, me encantaría aprender de ti. Gracias

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Andrea Reginato Puntos 645

1. Deje $\epsilon>0$ ; tomemos, por ejemplo, Demostrar que $1/n\to 0,$ como $n\to\infty.$

PRUEBA

Deje $\epsilon>0$ (significa que me dan un positivo y específico nuimber, decir $\epsilon$, luego me iba a demostrar a usted que$ \;\forall\; \epsilon>0$, $1/n<\epsilon$ para la gran n). Por tanto, dada cualquier $\epsilon>0$, elija $N=\left[1/\epsilon+1\right]$, entonces, \begin{align} \dfrac{1}{n}\leq \dfrac{1}{N}<\epsilon,\;\forall\; n\geq N. \end{align} Esto implica que para todos los $\epsilon>0$, \begin{align} \dfrac{1}{n}<\epsilon,\;\forall\; n\geq N. \end{align}

2. Deje $n\in\Bbb{N}$ ser fijo;

Escoge un particular $n\in\Bbb{N}$ para el conjunto de la prueba que no puede ser cambiado en el transcurso de la prueba.

EJEMPLO 2

Demostrar que para delimitada real positivo secuencias de $\{a_n\}_{n\in\Bbb{N}}$ \begin{align} \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}\leq\limsup_{n\to\infty} \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right| \end{align}

PRUEBA

Deje $\epsilon>0$ dado y $\beta:=\limsup_{n\to\infty} \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right| $, entonces existe $N$ tales que \begin{align} \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right|<\beta+\epsilon,\;\;\forall\;n\geq N. \end{align} Deje $n\geq N$ ser fijo, \begin{align} \left|\dfrac{a_{n}}{a_N} \right|=\left|\dfrac{a_{n}}{a_{n-1}} \right|\cdot \left|\dfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}} \right|\cdots\left|\dfrac{a_{N+1}}{a_{N}} \right|<\left(\beta+\epsilon\right)^{n-N}\end{align} Esto implica \begin{align} \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}<\sqrt[n]{\left|a_N \right|}\left(\beta+\epsilon\right)^{1-N/n}\end{align} Tomando $\limsup$, \begin{align} \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}\leq\beta+\epsilon\end{align} Desde $\epsilon>0$ fue arbitraria, \begin{align} \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}\leq\limsup_{n\to\infty} \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right| \end{align}

3. De tal manera que, arbitraria

EJEMPLO 3

Demostrar que $f:X\to\overline{\Bbb{R}}$ es inferior semi-continua si

\begin{align} \forall\;\lambda\in \Bbb{R},\;\;f^{-1}\left((\lambda,\infty] \right)\;\;\text{is open in}\;X. \end{align} PRUEBA

Deje $\lambda\in \Bbb{R}$ e $x_0\in X$ ser arbitraria, de tal manera que $\lambda<f(x_0)$. Entonces, \begin{align} x_0\in f^{-1}\left((\lambda,\infty] \right). \end{align} Tomar \begin{align} V=f^{-1}\left((\lambda,\infty] \right), \;\;\text{where }\;\;V\in U\left(x_0 \right).\end{align} Vamos a $x\in V$, a continuación, $f(x)\in (\lambda,\infty] ,$ lo que implica que $f(x)>\lambda.$ por lo tanto, para todos los $\lambda\in \Bbb{R}$ e $x_0\in X$ tal que $\lambda<f(x_0)$, $f(x)>\lambda,\;\forall\;x\in V.$ Esto implica que ese $f:X\to\overline{\Bbb{R}}$ es inferior semi-continuo.

4. Fijo, pero arbitrario, fijo, tal que y cuando.

EJEMPLO 4

Demostrar que $|x|$ es continua en a$\Bbb{R}$.

Deje $\epsilon>0$ ser dado, $x\in \Bbb{R}$ ser fijo, pero arbitraria y $x_0\in \Bbb{R}$ ser fija, de tal manera que $|x-x_0|<\delta,$luego \begin{align} \left| |x|-|x_0| \right| \leq \left| x-x_0 \right|<\delta.\end{align} Así que, dado cualquier $\epsilon>0$, elija $\delta=\epsilon,$ luego \begin{align} \left| |x|-|x_0| \right|<\epsilon,\;\;\textbf{whenever}\;\;\left| x-x_0 \right|<\delta\end{align} Yo elija cualquiera de los $x\in\Bbb{R}$ para la prueba, pero que será fijo durante toda la prueba.

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