5 votos

Probar o refutar si$\int_{a}^{b} f$ existe y es igual a 0

Demostrar o refutar: Supongamos $f$ es acotada en el intervalo de $[a,b]$y para cualquier $n\in\mathbb{N}$ existen particiones $P_{n}$ e $Q_{n}$ tales que $U(P_{n},f) \le \frac{1}{n}$ e $L(Q_{n},f) \ge -\frac{1}{n}$. Entonces $\int_{a}^{b} f$ existe y es igual a $0$.

Aquí está mi intento: $$-\frac{1}{n} \overset{(1)}{\leq} L(Q_{n},f) \overset{(2)}{\leq} \underline{\int_{a}^{b} f} \overset{(3)}{\leq} \overline{\int_{a}^{b} f} \overset{(4)}{\leq} U(P_{n},f) \overset{(5)}{\leq} \frac{1}{n}$$

Las desigualdades $(1),(5)$ se dan y se $(2),(3),(4)$ suspenso la definición de la integral inferior y la parte superior de la integral. Se sigue por el teorema del sándwich que $\underline{\int_{a}^{b} f} = \overline{\int_{a}^{b} f} = 0$.

Es esto una prueba de bien?

2voto

Math_QED Puntos 8

Tu prueba es completamente correcta. ¡Bien hecho!

Tenga en cuenta también que la siguiente declaración relacionada es verdadera:

Una función limitada $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ es Riemann-integrable si y solo si hay una secuencia de particiones $(P_n)$ tal que

PS

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by: