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Si una prima$p$ divide$n^2$, entonces también divide$n$ - ¿Es correcta esta prueba?

Estoy aprendiendo Análisis Real por mí y yo quería demostrar que si un prime $p$ divide $n^2$ donde $n$ es un número entero, entonces $p$ divide $n$ sí. Vi que probar esto es lo mismo que decir que los factores primos de a$n^2$ son "el mismo" que los de $n$.

En este caso, suponga que existe un primer factor $a_q$ en $n^2$ que no está en $n$ (prueba por contradicción). Por el Teorema Fundamental de la Aritmética, podemos representar a $n^2$ como $n^2= a_1 * a_2 * ... * a_x * a_q$, donde cada $a$ es el primer y $n=k_1 * k_2 * ... * k_y$ (todos los $k$ también es primo). Sabemos que $\frac{n^2}{n}=n$. Así que (por susbstituting):

$\frac{n^2}{n}= \frac{a_1*...*a_x*a_q}{k_1*...*k_y}=n \rightarrow \frac{a_1*...*a_x}{k_1*...*k_y}=\frac{n}{a_q}$

Debido a $\frac{n}{a_q}$ no es un entero (declaración inicial), existe al menos un $a_s$ en el lado izquierdo de la ecuación que no es divisible por cualquier $k$. Ahora tenemos dos factores de $n^2$ que no se dividen $n$. Podemos repetir este proceso,

$\frac{a_1*...*a_x*a_s}{k_1*...*k_y}=\frac{n}{a_q} \rightarrow \frac{a_1*...*a_x}{k_1*...*k_y}=\frac{n}{a_q*a_s}$,

para cada factor primo de $n^2$ lo que significa que no hay ningún factor de $a_i$ en $n^2$ divisible por cualquier factor de $k_j$ de $n$. Pero sabíamos que $\frac{n^2}{n}=n$, por lo tanto, tenemos una contradicción ($n^2$ no es divisible por $n$). Así que no hay ningún factor primo $p$ en $n^2$ que no divida a $n$$\rightarrow$ cada factor primordial $p$ en $n^2$ también se divide $n$.

Obviamente no soy un experto en manifestaciones, así que quiero saber si esto es un argumento válido. También estoy consciente de Euclides del Lema, pero para este caso, lo ignoran.

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SUMIT MITRA Puntos 16

Una forma más corta sería escribir $n=p_1^{\alpha_1}\cdots p_k^{\alpha_k}$ (donde cada $\alpha_i>0$ ) según el teorema fundamental de la aritmética. Entonces $n^2= p_1^{2\alpha_1}\cdots p_k^{2\alpha_k}$ . Los únicos números primos que dividen $n^2$ son $p_1,\cdots,p_k$ y estos claramente también dividen $n$ .

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user254665 Puntos 4075

Aquí es un enfoque diferente. Única factorización prima de $n,$ para $1<n\in \Bbb N,$ se sigue del Lema de que si $a,b,c\in \Bbb Z$ e $\frac {ab}{c}\in \Bbb Z$ mientras $\gcd (a,c)=1$ entonces $\frac {b}{c}\in \Bbb Z.$ El Lema de la siguiente manera a partir de algo que se llama la Identidad de Bezout, aunque está implícito en el algoritmo de Euclides para el cálculo de un $\gcd$ : Para cualquier $a,b\in \Bbb Z$ ( $0$) no existe $x,y \in \Bbb Z$ tal que $ax+by=\gcd (a,b).$

Deje $p$ ser el primer y deje $n\in \Bbb Z$ tal que $p|n^2.$ Deje $m=\gcd (p,n).$ Desde $m$ divide el primer $p$ e $m\ge 1,$ tenemos $m=1$ o $m=p.$

Ahora existen $x,y\in \Bbb Z$ tal que $px+ny=m,$ lo $\frac {(m-px)^2}{p}=\frac {n^2y^2}{p}=\frac {n^2}{p}\cdot y^2\in \Bbb Z.$ Pero si $m=1$ entonces $\frac {(m-px)^2}{p}=\frac {1-2px+p^2x^2}{p}=\frac {1}{p}-2x+px^2\in \Bbb Z,$ lo que implica $\frac {1}{p}\in \Bbb Z,$ lo cual es absurdo.

Así que, ya que no podemos tener $m=1,$ tenemos $m=p$. Y desde $m=\gcd (p,n)|n,$ tenemos, por tanto, $p|n.$

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