4 votos

Encuentre el derivado usando la regla de la cadena y la regla del cociente

$$f(x) = \left(\frac{x}{x+1}\right)^4$$ Find $ f '(x) $.

Aquí está mi trabajo:

PS

PS

Sé que la respuesta final simplificada es:

PS

¿Cómo llego a la respuesta final de mi último paso? ¿O he hecho algo mal en mi propio trabajo?

6voto

Drew Jolesch Puntos 11

El cálculo de$f'(x)$ es correcto, aunque se puede simplificar. Para hacer esto, factorizamos$4x^3(x+1)^3\require{cancel}$ en el numerador.

$$ \begin{align}f'(x) &= \frac{4x^3(x+1)^4-4x^4(x+1)^3}{(x+1)^8}\\\\ &= \frac{\color{blue}{4x^3(x+1)^3}\Big((x+1) - x\Big)}{(x+1)^8}\\\\ &= \frac {(4x^3\cancel{(x+1)^3})(1)}{\cancel{(x+1)^8}^5}\\ \\ &= \frac{4x^3}{(x+1)^5} \end {align} $$

5voto

Es más fácil usar la diferenciación logarítmica en este problema. Aquí es cómo haces esto. $$y = \left(\frac x{x+1}\right)^4 \to \ln y = 4 \ln x - 4 \ln x + 1\to \frac{dy}{y} =4\left(\frac{dx}{x} - \frac{dx}{x+1} \right) = \frac{4dx}{x(x+1)} $$ multiplying through by $ y$ gives you $$\frac{dy}{dx} = \frac{4x^3}{(x+1)^5} $ $

3voto

CiaPan Puntos 2984

Al parecer te complicaste demasiado las cosas.

Comenzando desde$$f(x) = \left(\frac{x}{x+1}\right)^4$ $ con la regla de la cadena que obtenemos primero \begin{align} f'(x) &= 4\left(\frac{x}{x+1}\right)^3\cdot \left(\frac{x}{x+1}\right)^\prime\notag\\ &= 4\left(\frac{x}{x+1}\right)^3\cdot \frac{x'(x+1)-x(x+1)'}{(x+1)^2}\notag\\ &= 4\frac{x^3}{(x+1)^3}\cdot \frac{(x+1)-x}{(x+1)^2}\notag\\ &= \frac{4x^3}{(x+1)^3}\cdot \frac 1{(x+1)^2}\notag\\ &= \frac{4x^3}{(x+1)^5}\notag \end {align}

2voto

Jerry Puntos 121

Usualmente trato de evitar la regla del cociente si es posible.

PS

Aplicando los rendimientos de la regla de la cadena.

PS

1voto

egreg Puntos 64348

No está mal, solo está escrito en una forma diferente: puede simplificar mucho.

Es mucho mejor explotar la regla de la cadena: si llama a $$ g (x) = \ frac {x} {x + 1}, $$ entonces$f(x)=(g(x))^4$ y entonces $$ f '(x) = 4 (g (x)) ^ 3g '(x) = 4 \ left (\ frac {x} {x + 1} \ right) ^ {\! 3} \ frac {1 (x + 1) -x \ cdot 1} { (x + 1) ^ 2} = \ frac {4x ^ 3} {(x + 1) ^ 5} $$

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