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¿Qué es la curva que aparece cuando uso $\ln$ en el triángulo de Pascal?

He hecho un pequeño programa que genera Pascal triángulos como imágenes :

Yo la probé por primera vez asociando a cada uno de los píxeles de un color cuya intensidad es proporcional a la cantidad en el triángulo de Pascal

Los colores que se 0-255, he utilizado el siguiente función para convertir el valor de los colores: $$f(x)=\frac{x-m}{M-m}255$$ donde $x$ es el valor en el triángulo de Pascal, $M$ es el valor máximo en el triángulo, y $m$ en el valor mínimo en el triángulo. :

tamaño 50*50 : enter image description here

El eje son, como en esta imagen :

enter image description here

Sin embargo, como se puede ver, la mayoría de la imagen es de color negro debido a los números están muy distantes (con gran distancia entre máximos y mínimos)

Por lo tanto, pensé que sería bueno utilizar una escala logarítmica :

$$f(x)=\frac{\ln(1+x-m)}{\ln(1+M-m)}255$$

Lo que me da : tamaño 50*50 : enter image description here

Eso es mucho mejor.

Sin embargo, algo estaba molestando : como he aumentado el número de filas, me di cuenta de que algunos curva fue dibujada :

tamaño 50*50 : enter image description here

tamaño 100*100 : enter image description here

tamaño 150*150 : enter image description here

Yo no puedo tratar realmente de alta los números, ya que mi ordenador no es lo suficientemente buena, ni es el software que uso.

Hay algo detrás de la 'curva' ? Si es así, ¿qué curva sería ?

Podría alguien explicar por qué obtener tales resultados ?

Gracias.


El progreso

Estamos buscando a las curvas de nivel de $\ln\binom{N-y}{x},N\in\mathbb{N}^*$

Por Stirling, como @TedShifrin comentó, $\ln(n!)\sim n\ln(n)$ por lo tanto $\ln\binom{N-y}{x}\sim y\ln(N-y)-x\ln(x)-(N-y-x)\ln(N-y-x)$ y parece que nos dan buenas curvas (cf su respuesta).

Hay una ecuación y=f(x) para esas curvas ?

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Ted Shifrin Puntos33487

OK, en fin: Para cualquier $N\in\Bbb$ N, considere $\binom{N-y}x$, $0\le x,y\le$ N. Esto indica la intensidad en el punto $(x,y)$ en el gráfico, y estamos, de hecho, como @JackM sugerido, mirando a sus curvas de nivel.

Usando la aproximación de Stirling, $\log(n!)\sim n\log n-n$, consideramos que el argumento de las curvas de nivel de $(N-y)\log(N-y)-x\log x-(N-y-x)\log(N-y-x)$ - nota de que los términos lineales cancelar. Aquí está una Mathematica complot para $N=100$:

Pascal's image

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