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Cualquier$\mathbb{R}$ - mapeo lineal$X: C^\infty(M, \mathbb{R}) \to \mathbb{R}$ con$X(fg) = X(f)g(x) + f(x)X(g)$ dado por$X(f) = Df_x(v)$?

Deje que$M$ sea una variedad fluida y que$C^\infty(M, \mathbb{R})$ denote la colección de funciones de valor real suave en$M$. Para$x \in M$, ¿cómo veo que cualquier$\mathbb{R}$ - mapeo lineal$X: C^\infty(M, \mathbb{R}) \to \mathbb{R}$ que satisface$X(fg) = X(f)g(x) + f(x)X(g)$ viene dado por$X(f) = Df_x(v)$ para algún vector determinado$v \in DM_x$ ?

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Mike Miller Puntos 17852

Vamos a empezar recordando una forma de Taylor teorema:

Deje $f$ ser una función suave en $\Bbb R^n$. Luego, en $0$, $f$ puede ser escrito como $$f(x) = f(0) + \sum x_i \frac{\partial f}{\partial x_i}(0) + \sum x_ix_j h(x),$$ where $h(x)$ es alguna función suave.

Para la comodidad que denotan $\partial f/\partial x_i$$f_i$.

En primer lugar, sus derivaciones son objetos locales, por lo que podemos escoger también un gráfico de todo el punto de $x$, tal que $0 \in \Bbb R^n$. A continuación, la regla de Leibniz dice que $X(1) = X(1 \cdot 1) = 2X(1)$. La ecuación de $X(1) = 2X(1)$ implica que el $X(1)$, y por lo tanto, por la linealidad $X(f(0))$, es cero. Ahora la regla de Leibniz dice de nuevo que $$X(x_i x_j h) = x_i(0) X(x_j h) + x_j(0)h(0) X(x_i) = 0,$$ because $x_i(0) = x_j(0) = 0$. What we've determined, then, is that $$X(f) = X\left(\sum x_i f_i(0)\right) = \sum f_i(0)X(x_i);$$ so $X$ is completely determined by where it sends $x_i$. This shows that the space of derivations is at most $n$-dimensional. Now remember that (given a chart) we have a map $\Bbb R^n \a DM_x$, el envío de un vector para la derivada direccional en esa dirección. Es inyectiva - diferentes direcciones diferentes derivadas direccionales. Pero por la dimensión de la restricción acabamos de arriba, a continuación, debe surjective, demasiado. Así que es un isomorfismo, como se desee.

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