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explicando$|a+b|≤|a|+|b|$ en términos simples

Estoy luchando para enfrentar las desigualdades del triángulo. El problema es que realmente no entiendo lo que significa. Esto es lo que mi profesor ha escrito en las notas: $$ | a + b | ≤ | a | + | b |. $$ En primer lugar, no entiendo por qué es menor o igual que.

Si inserto números, por ejemplo,$a=2$ y$b=5$, me cuesta ver cómo$|2+5|≤|2|+|5|$.

Si alguien me pudiera explicar esto, estaría muy agradecido.

5voto

Daniel W. Farlow Puntos 13470

OK. Voy a tratar de explicar por qué $$ |a+b|\leq |a| + |b| $$ es cierto, un tanto intuitiva/pictórica.

En primer lugar, ¿sabes lo $|x|$ significa para un número $x$? Usted probablemente sabe que $|x|$ significa que el valor absoluto de a $x$, pero ¿ que significa? El valor absoluto de un número $x$ puede ser considerado como su "absoluta" distancia del cero en la recta numérica real. Por ejemplo, ¿a qué distancia se $3$$0$? Esto es claramente $3$ unidades de distancia. ¿Qué acerca de la $-4$? Bueno, esto es $4$ unidades, lejos de la $0$, pero en una dirección diferente (recuerde, la única cosa que importa es absoluta distancia y las distancias son siempre positivas). Por lo tanto, obtenemos la siguiente definición para el valor absoluto de un número $x$: $$ |x|= \begin{cases} x &\text{if} & x\geq 0,\\ -x &\text{if} & x<0. \end{casos} $$ Esto nos garantiza que la distancia de $x$ $0$siempre será positivo, independientemente de que el valor de $x$.

Ufff. Bien. Ahora considere lo $|a+b|\leq|a|+|b|$ medios. Lo que si $a$ es positiva y $b$ es negativo? ¿Qué número será el más grande: $|a+b|$ o $|a|+|b|$? Se puede ver cómo esto podría confirmar la verdad de la desigualdad de triángulo?

Si usted necesita más explicación, o desea un general de la prueba (aunque creo que un general de la prueba se puede confundir más que ayudar a usted en el momento), a continuación, hágamelo saber y voy a agregar.

3voto

chaiwalla Puntos 1132

Supongamos que el suministro de dos arbitraria de números reales $a$$b$. Vamos a construir un "triángulo" (en el número de línea) cuyos vértices son $0$, $a$, y $-b$. (Somos libres para elegir los vértices como nos gusta; pick $-b$ en lugar de $b$ por razones que se explicarán en un momento.)

Ya que la distancia entre el número real $x$$y$$|x - y|$, los lados de nuestro "triángulo" tienen longitudes $$ |un - 0| = |a|,\qquad |-b - 0| = |a-b| = |b|,\qquad |a - (-b)| = |a + b|. $$ (Ahora sabemos por qué hemos escogido $-b$: Para obtener $a + b$ dentro del valor absoluto.:)

Dos lados de nuestro triángulo tienen la longitud $|a|$$|b|$. Es razonable preguntarse: Basado en esta información por sí sola, ¿cuánto tiempo puede el tercer lado?

Debe ser bastante claro geométricamente que:

  • El tercer lado no puede exceder $|a| + |b|$, la suma de las longitudes de los conocidos lados. En símbolos, $$ |a + b| \leq |a| + |b|. $$ Este es el triángulo de la desigualdad.

  • El tercer lado no puede ser inferior a la distancia entre los números reales $|a|$$|b|$. En símbolos $$ |a + b| \geq \bigl||a| - |b|\bigr|. $$ Esta es la inversa de la desigualdad del triángulo.

En tu ejemplo, si dos lados de un triángulo tienen la longitud $2$$5$, el tercer lado no puede ser inferior a $|2 - 5| = |-3| = 3$, y no debe tener más de $|2 + 5| = |7| = 7$. (El número de línea, los lados de un "triángulo" son paralelas, por lo que el tercer lado es en realidad igual a $3$ o a $7$. Sin embargo, de aspecto similar a las desigualdades para mantener la distancia en el plano o en el espacio, o en el de mayores dimensiones de los espacios. En estos espacios, los lados de un triángulo no necesita ser paralelas. En el avión, el tercer lado del triángulo podría tener cualquier longitud entre la $3$$7$.)

The triangle and reverse triangle inequalities


Una prueba interesante de el triángulo de las desigualdades (para números reales) es mostrar que si $x$ $c$ son números reales, entonces $|x| \leq c$ si y sólo si $-c \leq x \leq c$. (Es decir, un límite superior en el valor absoluto de a $x$ puede ser "negociado" por un simétrica par de los límites superior e inferior en $x$.)

Claramente, \begin{align*} -|a| &\leq a \leq |a| &&\text{for all real %#%#%,} \\ -|b| &\leq b \leq |b| &&\text{for all real %#%#%.} \\ \text{ Adding,}\quad -\bigl(|a| + |b|\bigr) &\leq a + b \leq |a| + |b|. && \end{align*} La tercera línea tiene la forma $a$$b$$-c \leq x \leq c$, y por lo tanto puede ser "negociado" de $x = a + b$, es decir, para $$ |a + b| \leq |a| + |b|. $$ Nota, además, que $$ |a - b| = |a + (-b)| \leq |a| + |b| = |a| + |b|. $$

Para demostrar que la inversa de la desigualdad del triángulo, se aplica el anterior razonamiento a las ecuaciones \begin{align*} b &= (a + b) - a & \text{obtaining}\quad |b| &\leq |a + b| + |a|, \\ a &= (a + b) - b & \text{obtaining}\quad |a| &\leq |a + b| + |b|. \end{align*} Reorganización de las desigualdades en la derecha, tenemos $$ -|a + b| \leq |a| - |b| \leq |a + b|. $$ Esta cadena de desigualdades es también de la forma $c = |a| + |b|$, esta vez con $|x| \leq c$$-c \leq x \leq c$, y por lo tanto puede ser "negociado" para $$ \bigl||a| - |b|\bigr| \leq |a + b|. $$

2voto

Simon Brown Puntos 21

$a\le b$ $a$ es menor o igual a $b$, por lo que tenemos $3\le 3$ $3\le 4$ por ejemplo, desde la $3$ es igual a $3$ $3$ es de menos de $4$.

Por ejemplo, $|2+5|=7=|2|+|5|$, lo $|2+5|\le |2|+|5|$. Y $|-1+5|=4<6=|-1|+|5|$, lo $|-1+5|\le |-1|+|5|$.

2voto

Eclipse Sun Puntos 3361

Supongo que estás hablando de el triángulo de la igualdad de los números reales, y hay una pista:

Al $ab\ge0$, muestran que $|a+b|=|a|+|b|$.
Al $a<0<b$, muestran que $|a+b|<|b|<|a|+|b|$.

1voto

Henry Swanson Puntos 6395

Si quieres convencerte de que la declaración es verdadera, entonces usted debe romper la declaración de parte en los casos: tanto en $a$ $b$ son positivas, tanto en $a$ $b$ son negativos, uno es positivo y el otro es negativo, etc.

Si quieres saber por qué es llamado el triángulo de la desigualdad, elija cualquiera de los $x$. Deje $y = x - a$$z = y - b$. Entonces tenemos que $a = x - y$$b = y - z$. Por lo tanto, la desigualdad se convierte en: $$ |x - z| \le |x - y| + |y - z| $$

Ahora piensa en $x$, $y$, y $z$ como vértices de un triángulo, y el valor absoluto como una función de distancia. A continuación, el significado es claro: la distancia entre el $x$ $z$ es más corta que la distancia entre el $x$ $z$ a través del punto intermedio $y$.

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