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Un recíproco para el Primer Teorema Fundamental del Cálculo

Estoy trabajando en una prueba del siguiente teorema:

"Vamos a $f\colon [a,b]\to\mathbb{R}$ ser monótona creciente, $F\colon [a,b]\to\mathbb{R}$ tal que $F(x):=\int_{[a,x]} f$$x_0 \in [a,b]$. A continuación, $F$ es diferenciable en a $x_0$ si y sólo si $f$ es continua en a $x_0$."

Ahora, hacia la izquierda de la implicación de la siguiente manera fácil desde el Primer Teorema Fundamental del Cálculo, pero estoy teniendo dificultades para demostrar la derecha; yo he tratado de prueba por contradicción, pero sin mucho éxito por ahora. Así, agradecería cualquier sugerencia acerca de cómo probar esto restantes implicación.

Saludos cordiales,

lorenzo.

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dmay Puntos 415

Supongamos que $f$ no es continua en a $x_0$. Entonces, desde el $f$ es monótona creciente, $\lim_{x\to{x_0}^-}f(x)<f(x_0)$ o $\lim_{x\to{x_0}^+}f(x)>f(x_0)$. Supongamos que la anterior afirmación es correcta y definir $k=\lim_{x\to{x_0}^-}f(x)$. Entonces, si $x<x_0$,$$\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}=\frac{\int_x^{x_0}f(t)\,dt}{x_0-x}\leqslant\frac{k(x_0-x)}{x_0-x}=k.$$On the other hand, if $x>x_0$ then$$\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}=\frac{\int_{x_0}^xf(t)\,dt}{x-x_0}\geqslant\frac{f(x_0)(x-x_0)}{x-x_0}=f(x_0).$$So, the limit of $\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}$ at $x_0$ does not exist and therefore $F$ is not differentiable at $x_0$.

En el caso en que $\lim_{x\to{x_0}^+}f(x)>f(x_0)$ es similar.

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