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¿Hay algún modo general para caracterizar real simétrica funciones?

Estoy buscando una manera de reescribir la función $f: \mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R}$ que es simétrica en sus dos argumentos. Que es: $$ f(x,y) = f(y,x) $$ Al principio yo estaba pensando que desde $x$ $y$ son intercambiables, su influencia en el valor de $f$ debe ser el mismo, por lo tanto en algún lugar dentro de $f$ deben ser asignadas por algunos de los auxiliares de la función $a$ y, a continuación, agregados de alguna manera. Por ejemplo, mediante la suma o la multiplicación: $$ f(x,y) = a(x) + a(y) \\ \text{ o}\\ f(x,y) = a(x)a(y) $$ Podemos ver que si queremos componer $f$ con $g : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$, la simetría se mantiene. Por lo tanto, si tomamos el logaritmo de la parte inferior de la ecuación, podemos transformar la multiplicación en la adición. Esto podría sugerir una forma general: $$ f(x,y) = g(a(x) + a(y)) $$ Pero el problema es que si sumamos dos simétrica funciones, también obtenemos una función simétrica, pero el general no enfrentarse a esta tarea: $$ f_1(x,y) + f_2(x,y) = g_1(a_1(x) + a_1(y)) + g_2(a_2(x) + a_2(y)) $$ ¿Hay algún modo general para caracterizar $f$? Podemos asumir cualquier número finito de derivados de $f$.

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timh Puntos 481

En el caso de que $f$ es un bivariante simétrica polinomio, es un polinomio de la "Primaria simétrica polinomios" $$ \begin{align} e_0(x,y)&=1, \\ e_1(x,y)&=x+y, \\ e_2(x,y)&=xy. \end{align}$$
Que es $f(x,y)=P(e_0(x,y),e_1(x,y),e_2(x,y))$ donde $P(X,Y,Z)$ es de algún polinomio de tres variables.


En el caso de que $f(x,y)$ es analítica, es el límite de sus polinomios de Taylor, que deben ser simétricas a sí mismos. Por lo tanto, uno encuentra que $$f(x,y)=\Phi(e_0(x,y),e_1(x,y),e_2(x,y)) $$ donde $\Phi(X,Y,Z)$ es una analítica de la función de tres variables.


No sé cómo proceder en el nonanalytic caso, pero mi conjetura es que debe ser de una forma similar.

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M. Winter Puntos 1070

Cómo sobre esto. Para cualquier función de $g:\Bbb R^{\geq0}\times\Bbb R\to\Bbb R$ usted puede construir la simétrica de la función

$$f(x,y):=g(|x-y|,x+y)\qquad\text{or}\qquad f(x,y):=g((x-y)^2,x+y),$$

la letra de uno de preferencia si desea mantener el la diferenciabilidad de $g$. Creo que realmente no se puede sacar nada de esta generalidad, como para cualquier simétrica $f$ usted puede reconstruir su correspondiente $g$ a través de

$$g(x,y)=f\left(\frac12(y+x),\frac12(y-x)\right).$$

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