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Sumas de Riemann como en Königsberger Análisis 1

Introducción: debe tomar un pequeño desvío aquí que sólo es pertinente si usted no sabe que el libro en sí y la atención acerca de mis antecedentes. Estoy trabajando con Königsberger Análisis del yo (se puede encontrar en Springerlink). Actualmente estoy en el Capítulo 11, que se centra en la integración.

Königsberger toma el siguiente método para introducir el Cálculo Integral:

  1. Él define el paso de las funciones de $\varphi: [a,b] \to \mathbb{C}$ tal que para todos los $x \in (x_{k-1},x_k)$ la función de paso de $\varphi$ es constante $c_k$ y, a continuación, se define la Integral de funciones de paso: $$\int_a^b \varphi(x)dx := \sum_{k=1}^n c_k \Delta x_k $$
  2. Él define reguladas las funciones de $f:I \to \mathbb{C}$ en un Intervalo de $I$ tal que para todos los $x \in (a.b)$ el lado izquierdo del límite y el lado derecho del límite existe.
  3. Él introduce al lector a la "aproximación teorema'

Aproximación teorema: Una función de $f$ en un Intervalo compacto $[a,b]$ es una regulado función si y sólo si para todos los $\epsilon > 0$ existe una función de paso de $\varphi $ tal que $|f(x)-\varphi(x)| \leq \epsilon$ todos los $x \in [a,b]$

  1. Corolario del teorema muestra que para la regulación de las funciones de $f$ el siguiente límite existe siempre y la define como la integral de la $f$ más de $[a,b]$ $$ \int_a^b f(x) dx := \lim_{n \to \infty} \int_a^b \varphi_n(x)dx $$

Mi problema: yo creo que para entender los temas mencionados anteriormente y asociados de las pruebas 'bastante bien'. Sin embargo, en la última sección de este capítulo Königsberger intenta realizar la conexión de la regulación de las funciones para la Suma de Riemann con el siguiente teorema:

Teorema: Vamos a $f: [a,b] \to \mathbb{C}$ ser regulado de la función. A continuación, para todos los $\epsilon > 0$ existe un $\delta >0$ tal que para todas las particiones $Z$ $[a,b]$ $\max \Delta x_k \leq \delta$ y arbitraria $\xi_k \in [x_{k-1},x_k]$ el siguiente se tiene: $$ \left| \sum_{k=1}^n f( \xi_k) \Delta x_k - \int_a^b f(x) dx \right| \leq \epsilon $$

Yo lucho con la primera parte de la prueba. (Página 216)

Prueba: Königsberger sugerir que compruebe primero el teorema para el paso de las funciones en lugar de lo regulado funciones y, a continuación, utilizar el teorema de aproximación.

Él dice que la muestra para el paso de las funciones debe ser realizado por inducción después de que el número de "puntos de salto" $m$ (traductor sugiere saltus y el salto de discontinuidad) y que es muy fácil.

Sólo me importa acerca de los primeros pasos de la inducción $m=0$ $m=1$ que Königsberger describe como trivial, para $m=1$ menciona a elegir a$\delta:= \epsilon / 4 \| \varphi\|$, y mi problema es que yo realmente no veo cómo obtiene de estas cosas. Después de esto, puedo completar la prueba en el mío propio, porque él es muy cuidadoso a partir de ese punto.

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generesque Puntos 58

$m=0$: Para una constante de la función de paso de $\varphi:[a,b]\rightarrow \mathbb{C}$ donde $\exists c\in \mathbb{C}\space\forall x\in[a,b]: \varphi(x)=c.$ Tenemos: $$ \left| \sum_{k=1}^n \varphi( \xi_k) \Delta x_k - \int_a^b \varphi(x)\space dx \right|$$ $$= \left| c \sum_{k=1}^n \Delta x_k -c(b-a) \right|=0$$ since the sum collapses to $(b-a).$

$m=1:$ Para una función de paso de $\varphi:[a,b]\rightarrow \mathbb{C}$ con un punto de salto $y \in [a,b]$ : $\exists c_{1},c_{2}\in \mathbb{C}\space\forall x\in[a,b]: (x<y \Rightarrow \varphi(x)=c_{1} \space \wedge \space x>y \Rightarrow \varphi(x)=c_{2}).$ Ahora el $y$ se encuentran en uno de los $\Delta x_k$, dicen en $\Delta x_j$ es decir, entre los $x_{j-1}$$x_{j}$. $$ \left| \sum_{k=1}^n \varphi( \xi_k) \Delta x_k - \int_a^b \varphi(x) \space dx \right|$$ $$=\left| \sum_{k=1}^n \varphi( \xi_k) \Delta x_k - \sum_{k=1}^n\int_{x_k}^{x_{k+1}} \varphi(x) \space dx \right|$$ $$=\left| \sum_{k=1}^n \left(\varphi( \xi_k) \Delta x_k - \int_{x_{k-1}}^{x_{k}} \varphi(x) \space dx \right) \right|$$ Para cada una de las $k$ a excepción de $k=j$ este va a ser $0$. $$=\left| \varphi(\xi_j)(x_{j-1}-x_{j})\space- \space c_{1}(y-x_{j-1})\space-\space c_{2} (x_{j}-y)\right|$$ $$=\left| (\varphi(\xi_j)-c_{1})(y-x_{j-1})\space+ \space (\varphi(\xi_j)-c_{2})(x_{j}-y)\right|$$ $$\leq \left| (\varphi(\xi_j)-c_{1})\right|(y-x_{j-1})\space+ \space \left|(\varphi(\xi_j)-c_{2})\right|(x_{j}-y)$$ $$\leq (\left| \varphi(\xi_j)\right|+\left|c_{1}\right|)(y-x_{j-1})\space+ \space (\left|\varphi(\xi_j)\right|+\left|c_{2}\right|)(x_{j}-y)$$ $$\leq (\left| \varphi(\xi_j)\right|+\left|c_{1}\right|+\left|\varphi(\xi_j)\right|+\left|c_{2}\right|)\Delta x_j$$ $$\leq (\left| \varphi(\xi_j)\right|+\left|c_{1}\right|+\left|\varphi(\xi_j)\right|+\left|c_{2}\right|)\space\frac{\epsilon} {4 \| \varphi\|} \leq \epsilon.$$

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