4 votos

Suma de un trigonométrica de la serie que implican el pecado y tan

Estoy tratando de demostrar que la siguiente expresión es verdadera: $$\sum_{k=1}^{N-1} \frac{\sin\left(\frac{\pi k n}{N}\right)}{\tan\left(\frac{\pi k}{2N}\right)} = N-n$$

Creo que la sustitución de $\tan\left(\frac{\pi k}{2N}\right)=\frac{\sin\left(\frac{\pi k}{N}\right)}{1+\cos\left(\frac{\pi k}{N}\right)}$ podría simplificar el problema, pero todavía me terminan con una serie trigonométrica de un término en el denominador, que no estoy seguro de cómo resolver.

Muchas gracias,
Calum

1voto

Nikos Bagis Puntos 11

Uso $e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$, $\theta\in\textbf{R}$ para escribir $$ \cos\left(\theta\right)=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\textbf{, }\theta\en\textbf{R}. $$ Por lo tanto $$ \cos\left(\frac{\pi k}{N}\right)\cos\left(\frac{n\pi k}{N}\right)= $$ $$ =\frac{1}{4}e^{-ik\pi/N-ikn\pi/N}+\frac{1}{4}e^{ik\pi/N+ikn\pi/N}+\frac{1}{4}e^{-ik\pi/N+ikn\pi/N} $$ $$ +\frac{1}{4}e^{ik\pi/N-ikn\pi/N}.\la etiqueta{id} $$ Si ponemos $$ A(n):=\sum^{N-1}_{k=0}\cos\left(\frac{\pi k}{N}\right)\cos\left(\frac{n\pi k}{N}\right)\textrm{, }n=0,1,2,\ldots, $$ entonces a partir de (id), tenemos (para $n$ número entero no negativo), (recogemos los conjugados para encontrar las partes reales): $$ A(n)=\frac{N}{2}\textrm{ si }n=1;1\textrm{ si }n=; 0\textrm{ si }n=impar\neq 1. $$ El uso de $\cos^2(\theta)=\frac{1+\cos(2\theta)}{2}$, obtenemos $$ \sum^{N-1}_{k=0}\cos^2\left(\frac{\pi k}{2N}\right)\cos\left(\frac{n\pi k}{N}\right)= $$ $$ =\frac{N+1}{2}\textrm{ si }n=0;\frac{N+2}{4}\textrm{ si }n=1;\frac{1}{2}\textrm{ si }n=2,3,4,\ldots\etiqueta{1} $$ Pero $$ \frac{\sin\left(\frac{\pi k n}{N}\right)}{\tan\left(\frac{\pi k}{2N}\right)}=\frac{\left(1+e^{i k\pi/N}\right)\left(e^{-nik\pi/N}-e^{nik\pi/N}\right)}{2\left(1-e^{ik\pi/N}\right)} $$ y si $\zeta=e^{-\pi i/N}$, luego $$ e^{-nik\pi/N}-e^{nik\pi/N}=\zeta^{nk}-\zeta^{-nk}=\zeta^{-nk}\left(\zeta^{2nk}-1\right)= $$ $$ =\zeta^{-nk}(\zeta^{2k}-1)\left(1+\zeta^{2k}+\zeta^{4k}+\ldots+\zeta^{2(n-1)k}\right).\la etiqueta{2} $$ Por lo tanto $$ \frac{\sin\left(\frac{\pi k n}{N}\right)}{\tan\left(\frac{\pi k}{2N}\right)}=\frac{1}{2}\left(\zeta^k+1\right)^2\zeta^{-nk}\left(1+\zeta^{2k}+\zeta^{4k}+\ldots+\zeta^{2(n-1)k}\right).\tag{3} $$

i) Si $n$ es impar, entonces fácilmente que se han $$ \sum^{n-1}_{j=0}\zeta^{2kj}=\zeta^{(n-1)k}\left(1+2\sum^{\frac{n-1}{2}}_{j=1}\cos\left(\frac{2jk\pi}{N}\right)\right)\tag{4} $$ y $$ \frac{1}{2}(\zeta^k+1)^2 \zeta^{-nk}\zeta^{(n-1)k}=1+\cos\left(\frac{k\pi}{N}\right)=2\cos^2\left(\frac{k\pi}{2N}\right)\tag{5} $$ Por lo tanto la relación (3) se convierte en $$ \frac{\sin\left(\frac{\pi k n}{N}\right)}{\tan\left(\frac{\pi k}{2N}\right)} =2\cos^2\left(\frac{\pi k}{2N}\right)\left(1+2\sum^{\frac{n-1}{2}}_{j=1}\cos\left(\frac{2jk\pi}{N}\right)\right)\etiqueta{6} $$ Suma (6) y usando (1), obtenemos $$ \sum^{N-1}_{k=0}\frac{\sin\left(\frac{\pi k n}{N}\right)}{\tan\left(\frac{\pi k}{2N}\right)}= \sum^{N-1}_{k=0}2\cos^2\left(\frac{k\pi}{2N}\right)\left(1+2\sum^{\frac{n-1}{2}}_{j=1}\cos\left(\frac{2jk\pi}{N}\right)\right)= $$ $$ =2\left(\frac{N+1}{2}+2\frac{n-1}{2}\cdot\frac{1}{2}\right)=N+n\etiqueta{7} $$

ii) Si $n$ es par, entonces
$$ \sum^{n-1}_{j=0}\zeta^{2kj}=2\zeta^{(n-1)k}\sum^{\frac{n}{2}}_{j=1}\cos\left(\frac{(2j-1)k\pi}{N}\right)\tag{8} $$ Por tanto, usando (3),(8) y (1) obtenemos $$ \sum^{N-1}_{k=0}\frac{\sin\left(\frac{\pi k n}{N}\right)}{\tan\left(\frac{\pi k}{2N}\right)}=\sum^{N-1}_{k=0}4\cos\left(\frac{k\pi}{2N}\right)^2\left(\sum^{\frac{n}{2}}_{j=1}\cos\left(\frac{(2j-1)k\pi}{N}\right)\right)= $$ $$ =4\left(\frac{N+2}{4}+\frac{1}{2}\left(\frac{n}{2}-1\right)\right)=N+n\etiqueta{9} $$ También es (fácil) $$ \lim_{k\rightarrow 0}\frac{\sin\left(\pi k n/N\right)}{\tan\left(\pi k/(2N)\right)}=2n.\la etiqueta{10} $$

A partir de (7),(9) y (10), obtenemos el resultado.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by: