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Integral de la derivada de una función de variación acotada

Deje $f\colon [a,b] \to \mathbb R$ de variación acotada. Debe ser el caso que $|\int_a ^b f' (x) |\leq |TV(f)|$ donde $TV(f)$ es la variación total de $f$$[a,b]$? Si es así, ¿cómo se puede demostrar esto?

En el estándar de prueba de la monotonía teorema de la diferenciación, se muestra tat esto tiene para el aumento de funciones: si $f$ va en aumento, a continuación,$\int_a ^b f'(x) \leq f(b) - f(a) = TV(f)$. Estoy tratando de generalizar a funciones de variación acotada.

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B. S. Thomson Puntos 1442

La respuesta a la pregunta planteada aquí como si, para una función $f$ de variación acotada en un intervalo, $$\left|\int_a^b f'(x)\,dx\right| \leq \int_a^b |f'(x)|\,dx \leq V(f,[a,b]) $$ is of course yes and can be found in numerous textbooks. I don't think I need to list them. Rather more interesting is the further generalization. If $f$ no es absolutamente continua, entonces tendría desigualdad estricta con la variación. Pero, ¿qué explica la diferencia en los valores?

Esto se ha hecho muy bien hace años por parte De La Vallée Poussin. Su fórmula se parece a esto $$V_f(E) = V_f(E_\infty) + \int_E |f'(x)|\,dx$$ where $V_f$ is a measure that describes the total variation of $f$ on a set $E$ and $E_\infty$ are the points in $E$ at which $f'(x)=\pm\infty$. Ver Saks de la Teoría de la Integral en el Capítulo 4, Sección 9 para un clásico de escritura de estas ideas.

En términos del título de esta pregunta (laIntegral de la derivada de una función de variación acotada) pensé que esto podría ser vale la pena mencionar, ya que de lo contrario alguien al azar de la lectura de los temas a tratar pueden encontrar a poco más de interés aquí.

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