4 votos

Si $\sum a_n r^n$ converge, entonces $\sum a_n x^n$ converge uniformemente en $[0,r]$

Hola este problema no tengo idea de qué puedo hacer.

Deje $\sum a_n x^n$ ser una potencia serie finita radio de convergencia $r$. Probar que si $\sum a_n r^n$ converge, entonces $\sum a_n x^n$ converge uniformemente en $[0,r]$.

5voto

Shaun Austin Puntos 2512

A partir de la convergencia de $\sum a_n x^n$ $x = r$ se sigue que $a_n r^n \to 0$. Así, en particular, la secuencia es acotado, dicen por $M > 0$ $|a_n r^n| \leqslant M$ o $|a_n| \leqslant M r^{-n}$. Ahora vamos a $l \in [0, r)$, entonces para cada a $k$ hemos

$$|a_k l^k| \leqslant |a_k| |l|^k \leqslant \left (\frac{|x|}{r} \right )^k$$

Por supuesto, tenemos $|z|/r < 1$. Por lo tanto, por la prueba de comparación de la serie converge absolutamente, por lo tanto converge.

Ahora, si una serie converge uniformemente de Cauchy, luego converge uniformemente. Ahora, el anterior de la serie converge uniformemente si por cualquier $\varepsilon > 0$, existe un entero positivo $N$ que si $N_0 \leqslant j \leqslant m$

$$\left |\sum_{k = j}^m a_n x^n \right | < \varepsilon$$

para todos los $x \in [0, r)$. Ahora

$$\left |\sum_{k = j}^m a_n x^n \right | \leq \sum_{k = j}^m |a_n| |x|^n.$$

Esto puede ser hecho fácilmente menor que cualquier $\varepsilon > 0$. ¿Cómo?

Por lo tanto, ahora debemos extender el resultado a $x = r$. Como se dijo en los comentarios, Abel teorema permite ampliar la convergencia a la frontera si $r = 1$.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by: