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Singularidades en el Análisis Complejo

Determinar los puntos singulares de las siguientes funciones, la naturaleza de estos puntos singulares y calcular los residuos en estos puntos. $$(a)\:\dfrac{\cos z}{z^3},\qquad (b)\:\dfrac z{\sin z},\qquad(c)\:\dfrac{e^{z+10}}{z^{10}}.$$

Hola - Para$(a)$$(b)$, sé que las singularidades son tanto $0$, con órdenes de $3$ $10$ respectivamente.

Sé que la singularidad de $(b)$$\sin(z)=o$, es decir,$nπ$. Pero no estoy seguro de la orden de esta. No sería infinito ($n$'s puede seguir aumentando)?

Gracias por tu ayuda.

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Marm Puntos 3861

Para (a) se puede considerar el poder de la serie $cos(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}$. Anote $\frac{cos(z)}{z^3}$ como una potencia de la serie y $a_{-1}$ es el residuo cero.

Para (b) todas las singularidades tienen la forma $\pi n$. Para $n=0$ el singulariy es removible (L'hospital). Para $n \neq 0$ considera que el límite de $\lim_{z \to n \pi} |\frac{z}{sin(z)}|$.Usted obtener que el singularites son polos (por Qué?)

El orden de los polos son, a continuación, la primera $k \in \mathbb N$ tal que $\lim_{z \to n \pi} \frac{z(z-n\pi)}{sin(z)}$ existe. El valor es también el residuo en $n\pi$ (por Qué?)

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