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Cálculo del laplaciano en coordenadas polares.

Preguntas similares han sido hechas en este sitio, pero ninguno de ellos parecía que me ayude. Me piden calcular el Laplaciano $$\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}$$ en términos de coordenadas polares.

Me hizo hacerlo, pero no entiendo por que lo que hice es correcto, y no entiendo el más "fuerza bruta" forma de hacerlo.

Aquí es lo que yo hice:

He calculado $\frac{\partial}{\partial r}$ e $\frac{\partial}{\partial \theta}$ en términos de $r,$ $\theta,$ $\frac{\partial}{\partial x}$ e $\frac{\partial}{\partial y}.$ Esto me dio un sistema de ecuaciones lineales que escribí como $$\begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial r} \\\frac{\partial}{\partial \theta}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta \\\ -r\sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial x} \\\frac{\partial}{\partial y}\end{pmatrix}.$$ Yo invertida para obtener $$\begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial x} \\\frac{\partial}{\partial y}\end{pmatrix} = \frac{1}{r}\begin{pmatrix}r\cos\theta & -\sin\theta \\\ r\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial r} \\\frac{\partial}{\partial \theta}\end{pmatrix},$$ y, a continuación, simplemente me escribió \begin{align}\frac{\partial^2}{\partial x^2} &= \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial}{\partial x}\right)\\ &= \left(\cos\theta \frac{\partial}{\partial r}-\frac{1}{r}\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right)\left(\cos\theta \frac{\partial}{\partial r}-\frac{1}{r}\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right)\\ &= \cos\theta\frac{\partial}{\partial r}\left(\cos\theta \frac{\partial}{\partial r}-\frac{1}{r}\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right) -\frac{1}{r}\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\cos\theta \frac{\partial}{\partial r}-\frac{1}{r}\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right)\\ &= \cos^2\theta \frac{\partial^2}{\partial r^2} - \frac{2}{r}\sin\theta\cos\theta\frac{\partial^2}{\partial r \partial\theta} +\frac{1}{r^2}\sin^2\theta\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}.\end{align} Yo igualmente tengo $$\frac{\partial^2}{\partial y^2} = \sin^2\theta \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{2}{r}\sin\theta\cos\theta\frac{\partial^2}{\partial r \partial\theta} +\frac{1}{r^2}\cos^2\theta\frac{\partial^2}{\parcial \theta^2}.$$ Adding the two yields $$\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2} = \frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2},$$ que Spivak dice es correcto.

Explícitamente, aquí están mis preguntas:

  1. En mi solución, cuando me enteré de $\frac{\partial^2}{\partial x^2},$ I simplemente se "multiplican" las expresiones en la segunda línea de la gran alineado a la ecuación (tratamiento de la multiplicación de los parciales de los operadores como de la composición). ¿Por qué me permite hacer esto? ¿Por qué la expresión de la izquierda no actuar sobre la cosa en el derecho, me obligó a hacer el producto de la regla y otras tonterías para obtener la respuesta?

  2. Mi idea original era sólo para calcular el Laplaciano usando la regla de la cadena. Es decir, escribir $\frac{\partial}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial x}$ y calcular el $\frac{\partial^2}{\partial x^2}$ a partir de ahí. Mi problema con esto es que sigo recibiendo confundido acerca de cuáles son las variables que debe ser por escrito todo, y cómo la derivada parcial de los operadores actúan sobre estas otras expresiones. Por ejemplo, puedo calcular $\frac{\partial}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial \theta} \frac{\partial \theta}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\frac{\partial}{\partial r} - \frac{y}{x^2+y^2} \frac{\partial}{\partial \theta},$ pero luego no sé a dónde ir. Ayudar a la comprensión de este método sería muy apreciada.

Si algo no está claro, hágamelo saber y voy a hacer los cambios necesarios.

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caverac Puntos 588

Yo, simplemente, se "multiplican"

Imagina una función de $f(x, y) = f(x(r,\theta),y(r,\theta)) = f(r,\theta)$, usted acaba de encontrar

$$ \frac{\partial f(x, y)}{\partial x} = \cos\theta \frac{\partial f(r,\theta)}{\partial r} - \frac{1}{r}\sin\theta \frac{\partial f(r,\theta)}{\parcial \theta} \equiv h $$

A continuación, aplicar de nuevo

\begin{eqnarray} \frac{\partial^2 f(x, y)}{\partial x^2} &=&\frac{\partial h}{\partial x} \\ &=& \cos\theta \frac{\partial h(r,\theta)}{\partial r} - \frac{1}{r}\sin\theta \frac{\partial h(r,\theta)}{\partial \theta} \\ &=& \cos\theta \frac{\partial}{\partial r}\left[\cos\theta \frac{\partial f(r,\theta)}{\partial r} - \frac{1}{r}\sin\theta \frac{\partial f(r,\theta)}{\partial \theta}\right] - \frac{1}{r}\sin\theta\left[\cos\theta \frac{\partial f(r,\theta)}{\partial r} - \frac{1}{r}\sin\theta \frac{\partial f(r,\theta)}{\partial \theta} \right] \end{eqnarray}

Cuando piensas acerca de que es la misma cosa que usted hizo. Así que en realidad la multiplicación es la manera correcta de hacerlo. En general esto es cierto para cualquier operador, si $T$ es un operador de

$$ T^2f = T(Tf) $$

Mi idea original era sólo para calcular el Laplaciano usando la regla de la cadena

Es completamente equivalente a lo que hicimos en el primer paso. Aquí está el primer término

\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial x} &=& \frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial r} + \frac{\partial \theta}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial \theta} \\ &=& \frac{x}{r}\frac{\partial f}{\partial r} - \frac{y}{r^2}\frac{\partial f}{\partial \theta} \\ &=& \cos\theta \frac{\partial f}{\partial r} - \frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta} \end{eqnarray}

y ahora a aplicar la misma lógica que antes

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