Forma cerrada algebraica para $ \sum_ {n=1}^{k} \left ( n- 3 \lfloor \frac {n-1}{3} \rfloor\right )$

Question

Veamos la siguiente secuencia:

$a_n= \left\ {1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,... \right\ }$

Estoy tratando de calcular:

$$ \sum_ {n=1}^{k} a_n$$

Intentos:

Tengo un formulario cerrado para esta secuencia.

$$a_n=n- 3 \bigg\lfloor \frac {n-1}{3} \bigg\rfloor $$

El problema es que estoy buscando un formulario cerrado para este resumen:

$$ \sum_ {n=1}^{k} \left ( n- 3 \bigg\lfloor \frac {n-1}{3} \bigg\rfloor\right )$$

¿Es posible?

Answer 1

Anotando un par de sumas:

$$1,3,6,7,9,12,13,15,18,\dots$$

y comparándolo con la secuencia $$1,3,5,7,9\cdots$$

te da una pista de que la diferencia entre la secuencia aritmética y la secuencia que quieres describir es simplemente $$0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1\dots$$ que es una secuencia que se puede describir de forma cerrada de manera similar a $a_n$ .

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Es decir, se puede ver que $$\sum_{i=n}^k a_n = 2k-1 + b_k$$

donde $b_k$ es igual a $1$ si $k$ es divisible por $3$ y $0$ de lo contrario.

Puedes expresar $b_n$ algebraicamente tomando $a_n$ y cualquier función para la que $f(1)=f(2)=0$ y $f(3)=1$ y tienes $b_n=f(a_n)$ .

No se me ocurre ninguna función "elegante" $f$ por el momento, pero un polinomio cuadrático seguramente puede hacerlo, ya que sólo tenemos una restricción en tres puntos. El polinomio cuadrático que satisface $f(1)=f(2)=0$ y $f(3)=1$ es $$f(x)=\frac12x^2-\frac32 x + 1.$$

Editar :

Gracias a BarryCipra, una función más agradable (más en el espíritu de su solución) para $b_k$ es

$$b_k = \left\lfloor 1 + \left\lfloor\frac k3\right\rfloor - \frac k3\right\rfloor$$

Answer 2

Resta de la secuencia "media"

$$2,2,2,2,2,2,2,2,2,\cdots$$ se obtiene

$$-1,0,1,-1,0,1,-1,0,1,\cdots$$

que se suma como una periódica

$$-1,-1,0,-1,-1,0,-1,-1,0,\cdots$$

Esta última puede expresarse como

$$\frac{(n-1)\bmod3-n\bmod 3-2}3.$$

Así que globalmente,

$$2n+\frac{(n-1)\bmod3-n\bmod 3-2}3.$$

Answer 3

Si considera que $$b_k=\sum_{n=1}^{k}\left( n- 3 \bigg\lfloor \frac{n-1}{3} \bigg\rfloor\right)$$ se puede ver, tras una sencilla manipulación, que corresponde a la relación de recurrencia $$b_k=b_{k-1}+b_{k-3}-b_{k-4}\qquad \text{with}\qquad b_1=1, b_2=3, b_3=6, b_4=7$$ Utilizando el método convencional debería terminar con $$b_k=2k-\frac{2}{3} \left(1-\cos \left(\frac{2 \pi k}{3}\right)\right)$$

Editar

Si te gusta la función del suelo, utilizando un CAS, tengo para $b_k$ el pequeño monstruo $$\frac{1}{2} \left(k^2+k-3 \left\lfloor \frac{k}{3}\right\rfloor ^2-3 \left\lfloor \frac{k-2}{3}\right\rfloor \left(\left\lfloor \frac{k-2}{3}\right\rfloor +1\right)-3 \left\lfloor \frac{k-1}{3}\right\rfloor \left(\left\lfloor \frac{k-1}{3}\right\rfloor +1\right)+3 \left\lfloor \frac{k}{3}\right\rfloor \right)$$

¿Cuál prefieres?

Answer 4

Si $n \equiv 0 \pmod{3}$ es decir, digamos $n=3s$ (donde $s \geq 1$ ), entonces $a_n=3s-3\lfloor s-\frac{1}{3}\rfloor=3s-3(s-1)=3$ .

Si $n \equiv 1 \pmod{3}$ es decir, digamos $n=3s+1$ (donde $s \geq 0$ ), entonces $a_n=3s+1-3\lfloor s\rfloor=1$ .

Si $n \equiv 2 \pmod{3}$ es decir, digamos $n=3s+2$ (donde $s \geq 0$ ), entonces $a_n=3s+2-3\lfloor s+\frac{1}{3}\rfloor=2$ .

Así que dependiendo de lo que $k$ es que podemos contar el número de términos que son $1's$ , $2's$ y $3's$ .

Para $k=1,2$ la suma será $\color{red}{1}$ y $\color{red}{3}$ respectivamente. Por lo tanto, para $k \geq 3$ hacemos lo siguiente:

Si $k=3t$ para $t \geq 1$ entonces $$\sum_{n=1}^k\left(n-3\left\lfloor n-\frac{1}{3}\right\rfloor\right)=\sum_{n=1}^{3t}\left(n-3\left\lfloor n-\frac{1}{3}\right\rfloor\right)=t(1+2+3)=6t=\color{blue}{2k}.$$

Si $k=3t+1$ para $t \geq 1$ entonces $$\sum_{n=1}^k\left(n-3\left\lfloor n-\frac{1}{3}\right\rfloor\right)=\sum_{n=1}^{3t+1}\left(n-3\left\lfloor n-\frac{1}{3}\right\rfloor\right)=t(1+2+3)+1=6t+1=\color{blue}{2k-1}.$$

Del mismo modo, podemos obtener las expresiones para $k=3t+2$ como $$\sum_{n=1}^k\left(n-3\left\lfloor n-\frac{1}{3}\right\rfloor\right)=\sum_{n=1}^{3t+2}\left(n-3\left\lfloor n-\frac{1}{3}\right\rfloor\right)=t(1+2+3)+(1+2)=6t+3=\color{blue}{2k-1}.$$

Answer 5

Siento no poder comentar la respuesta de @5xum. Partiendo de la función cuadrática podemos derivar: $S_k=\frac{1}{2}((k-3\lfloor\frac{k}{3}\rfloor)^2+k+9\lfloor\frac{k}{3}\rfloor)$ que es bastante bueno.

Para derivar esto, ten en cuenta que de la respuesta de @5xum, $S_k=2k-1+\frac{1}{2}(x^2 -3x+2)$ donde $x=k-3\lfloor\frac{k}{3}\rfloor$ . Podemos escribir $k=x+3\lfloor\frac{k}{3}\rfloor$ para que..: $$S_k=\frac{1}{2}(x^2 -3x+2+4x+12\lfloor\frac{k}{3}\rfloor-2)=\frac{1}{2}(x^2+x+12\lfloor\frac{k}{3}\rfloor). $$ Sustituyendo $x$ de vuelta da el resultado.