Cómo integrar la $\int \frac{\cos x}{\sqrt{\sin2x}} \,dx$?

Question

Cómo integrar la $$\int \frac{\cos x}{\sqrt{\sin2x}} \,dx$$ ?

Tengo: $$\int \frac{\cos x}{\sqrt{\sin2x}} \,dx = \int \frac{\cos x}{\sqrt{2\sin x\cos x}} \,dx = \frac{1}{\sqrt2}\int \frac{\cos x}{\sqrt{\sin x}\sqrt{\cos x}} \,dx = \frac{1}{\sqrt2}\int \frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\sin x}} \,dx = \frac{1}{\sqrt2}\int \sqrt{\frac{\cos x}{\sin x}} \,dx = \frac{1}{\sqrt2}\int \sqrt{\cot x} \,dx \\ t = \sqrt{\cot x} \implica x = \cot^{-1} t^2 \implica \,dx = -\frac{2\,dt}{1 + t^4}$$

así que tengo: $$-\sqrt2 \int \frac{t^2 \,dt}{1 + t^4}$$

Traté de integración parcial en el que, pero se pone más complicado. También probé el de sustitución de $t = \tan \frac{x}{2}$ en este: $\frac{1}{\sqrt2}\int \sqrt{\frac{\cos x}{\sin x}} \,dx$

$$= \frac{1}{\sqrt2}\int \sqrt{\frac{\frac{1 - t^2}{1 + t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}}} \frac{2\,dt}{1+t^2} = \frac{1}{\sqrt2}\int \sqrt{\frac{1 - t^2}{2t}} \frac{2\,dt}{1+t^2} = \int \sqrt{\frac{1 - t^2}{t}} \frac{\,dt}{1+t^2}$$

... que no se ve muy prometedor.

Las sugerencias se agradece!

Answer 1

Tengo una media de respuesta (exactamente como lo hizo).

Poner $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Entonces la integral es:

$$\int\dfrac{\cos x}{\sqrt{2\sin x }\sqrt{\cos x}}dx=\int\dfrac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{2\sin x }}dx=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\int\sqrt{\cot x}\,dx.$$

Para la segunda mitad de la respuesta, a ver este

Answer 2

Tener la forma de un polinomio dividido por otro debe sugerir un método, feo, aunque puede ser: parcial de las fracciones. Tenemos $1+t^4=1+2t^2+t^4-2t^2=(t^2+1-t\sqrt2)(t^2+1+t\sqrt2)$

Answer 3

De hecho han $$\frac{x^2}{x^4+1}=\frac{1}{2\sqrt{2}}( \frac{x+1}{x^2-\sqrt{2}{x+1}}-\frac{x+1}{x^2+\sqrt{2}{x+1}})$$ ahora usted puede seguir para integrar y conseguir un poco de registro y arctg términos.

Answer 4

$\newcommand{\+}{^{\daga}} \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\, nº 1 \,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\, nº 1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, nº 1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, nº 1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\down}{\downarrow} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,} \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left (\, nº 1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large Un}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}}$ $\ds{}$ \begin{align} &\int{\cos\pars{x} \over \root{\sin\pars{2x}}}\,\dd x =\pm\,{1 \over \root{2}}\ \overbrace{\int{\cos^{1/2}\pars{x} \over \sin^{1/2}\pars{x}}\,\dd x} ^{\ds{\mbox{Set}\ t \equiv \sin\pars{x}}}\ =\ \pm\,{\root{2} \over 2}\ \overbrace{\int t^{-1/2}\pars{1 - t^{2}}^{-1/4}\,\dd t}^{\ds{t \equiv y^{1/2}}} \\[3mm]&=\pm\,{\root{2} \over 4}\int y^{-3/4}\pars{1 - y}^{-1/4}\,\dd y \\[5mm]&\mbox{which can be related to a Beta Function for some 'nice' limits.} \end{align}