¿Cuál es la diferencia entre "relación", "mapeo" y "función"?

Question

Creo que un mapeo y una función son lo mismo; solo hay una diferencia entre un mapeo y una relación. Pero estoy confundido. ¿Cuál es la diferencia entre una relación y un mapeo y una función?

Answer 1

Matemáticamente hablando, un mapeo y una función son lo mismo. Llamamos a la relación $$ f=\{(x,y)\in X\times Y : \text{Para todo $x$ existe un único $y$ tal que $(x,y)\in f$} \} $$ una función de $X$ a $Y$, denotada por $f:X\to Y$. Un mapeo es simplemente otra palabra para una función, es decir, una relación que empareja exactamente un elemento de $Y$ con cada elemento de $X$.

En la práctica, a veces se prefiere una palabra sobre la otra, dependiendo del contexto.

La palabra mapeo se suele usar cuando queremos ver $f:X\to Y$ como una transformación de un objeto a otro. Por ejemplo, un mapeo lineal $T:V \to W$ significa que queremos ver $T$ como una transformación de $v\in V$ al vector $Tv\in W$. Otro ejemplo es un mapeo conforme, que transforma un dominio en $\Bbb C$ a otro dominio.

La palabra función se usa más a menudo y en varios contextos. Por ejemplo, cuando queremos ver $f:X\to Y$ como un gráfico en $X\times Y$.

Answer 2

Básicamente no hay diferencia entre mapeo y función. En álgebra, se utiliza la noción de operación que es lo mismo que mapeo o función. La noción de relación es más general. Las funciones son relaciones específicas (aquellas que son izquierda-total y derecha-únicas).

Answer 3

En términos matemáticos:

Las palabras 'función' y 'mapeo' son sinónimas en la mayoría de los contextos. Formalmente, la definición de una función $f$ requiere que para cada valor $x$ en el dominio, exista un solo valor $y$ en el codominio tal que $y=f(x)$*.

Una relación es cualquier asignación de valores en un conjunto a valores en otro, independientemente de si la asignación es única o no. Por ejemplo, si $(X,Y,R)$ es la relación de un dominio $X\subseteq\mathbb{R}$ a un rango $Y\subseteq\mathbb{R}$ tal que $xRy\iff x=y^2$, entonces el conjunto de todos los puntos $\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x=y^2\right\}$ es una relación, pero no una función, porque hay dos valores $y\in Y$ tal que $y^2=x$ para cada $x\in X$.

Vale la pena mencionar que si bien cada función es una relación, no toda relación es una función. Según Wuestenfux, una función es el caso especial de una relación que es tanto completamente a la izquierda como única a la derecha.

En inglés:

Una función es una relación en la que cada entrada corresponde a una única salida. Una relación con más de una salida para cada entrada sigue siendo una relación, pero no es una función. Por ejemplo, $y=\pm\sqrt{x}$ es una relación, porque relaciona $x$ con $y$, pero no es una función, porque hay dos valores ($\sqrt{x}$ y $-\sqrt{x}$) para cada entrada $x$.

---

En referencia a la respuesta de user2662833:

Creo que lo que user2662833 está tratando de decir es que si bien no toda relación es una función, una relación sobre $n$ variables que no es una función, contiene las entradas de una función de $n$ variables para la cual esa función es constante. En el ejemplo dado, los puntos $(x,y)$ especificados por la ecuación $x^2+y^2=4$ son los puntos para los cuales $f(x,y)=x^2+y^2-4$ es $0$, y $g(x,y)=x^2+y^2$ es 4.

Con una restricción adicional, esto se podría reformular como "cada relación de $n$ variables contiene todos los ceros de una función de $n$ variables". Esto debería seguir siendo válido fuera de los números reales.

---

*En análisis complejo, específicamente, esto no siempre es necesario, ya que algunos autores prefieren considerar ciertas 'funciones multivalentes' complejas como funciones.

Answer 4

Buena pregunta. Te puedo dar un ejemplo sencillo.

Generalmente puedes pensar en relaciones como funciones en un espacio de mayor dimensión, intersectadas con un plano cero.

Por ejemplo, tomemos una parábola y un círculo para demostrar esto. Imagina la parábola

$$ f(x) = x^2 + 3x $$

Esto es claramente una función de x, porque si me das un valor de x, puedo darte el valor correspondiente de f(x) - un mapeo es realmente solo otro nombre para una función. Si queremos graficarlo, podemos dejar que el valor de y sea igual a la salida de $f$, así obtendríamos este gráfico:

Por otro lado, si graficamos un círculo, como:

$$x^2+y^2=4$$

Su gráfico está dado por:

Esto es fundamentalmente diferente a la función. Si quisieras el valor de y en x = 0, no puedo señalar un valor único, tendría que decir y = 2 o y = -2. Una función solo puede tener una salida. Así que tenemos que llamar a esto una relación.

Dimensiones Superiores

De todas formas, podemos usar un truco inteligente para este círculo. Podemos reescribirlo como:

$$ x^2 + y^2 - 4 = 0 $$

Lo cual obviamente es lo mismo, pero en el lado izquierdo, nota que ahora tenemos una función de (x, y), así que podemos pensar en esto como:

$$ g(x, y) = 0 $$

En una dimensión superior, esto sería la intersección entre las formas:

$$ z = g(x, y) $$

y

$$ z = 0 $$

Que he mostrado abajo:

Observa ese mismo círculo escondido a simple vista.

Conclusiones clave (tl;dr)

Las relaciones son funciones en una dimensión superior, intersectadas con un plano cero en la dimensión superior.

(Edición) Más Precisamente

Estoy de acuerdo en que podría haber sido más preciso con las cosas que escribí más arriba. Así que espero ser más claro sobre lo que quise decir aquí. La definición usual es:

Una relación es una asociación entre elementos de dos conjuntos, que no son necesariamente únicos. Una función obliga a cada miembro del dominio a tener solo un "compañero" en el conjunto de salida (o codominio).

Por ejemplo, aquí hay dos conjuntos de ejemplo. A la izquierda tenemos una relación que es una función, y a la derecha tenemos una relación que no es una función.

Sin embargo, bajo una circunstancia particular (que discutiré a continuación), podemos realmente convertir esa relación en una función. Primero, podemos tomar el producto cartesiano entre los dos conjuntos X e Y en la parte derecha de la imagen de arriba como se muestra, esto producirá todas las posibles parejas de tuplas (x, y):

Ahora bajo la suposición de que existe otra función para mapear estas tuplas a otro conjunto z, (que es el rol de z = g(x, y) y z = 0 = 0(x, y) (usando cero como nombre de función), la relación puede ser vista como una función que mapea todas estas tuplas en el mismo punto como he mostrado abajo:

Por supuesto, la razón por la cual me molesté en restar todo para tener cero al otro lado, fue para que el elemento en el conjunto de salida al que estaba mapeando fuera 0 en el conjunto de números reales.

Sin embargo, estoy suponiendo que existe una función $g(x, y)$, para mapear de $X \times Y$ a $Z$, lo cual al menos para una función de números reales a números reales; debería siempre ser verdad.

Espero que esto aclare las cosas. ¡Aprecio tus comentarios! :)