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El ajuste a cero de $z_0^2+z_1^2-1$$\mathbb{C}^2$.

Recientemente, he leído las notas de "Vector de bultos en las superficies de Riemann" por Sabin Cautis (http://www-bcf.usc.edu/~cautis/clases/notas-de los fardos.pdf). En la sexta página de estas notas, hay una afirmación sin ninguna explicación a esto: "Por ejemplo, $z_0^2+z_1^2-1 = 0 $ es isomorfo (como un complejo colector de) a $\mathbb{C}$." Estamos tratando con la puesta a cero de este polinomio en $\mathbb{C}^2$.

Como no lograba encontrar una prueba de esta afirmación en el tiempo disponible, he discutido con algunos de sus colegas a través de un par de cervezas, una noche. Aunque los enfoques se han intentado, no hemos de conseguir en cualquier lugar. El enfoque que parecía más prometedor para demostrar que el dado por la puesta a cero es simplemente conectado y, a continuación, invocar el teorema de uniformización. Mediante la determinación de la automorphism grupo, a continuación, ser capaz de averiguar que es, de hecho,$\mathbb{C}$. Sería este enfoque será capaz de resolver la pregunta? (es decir, cualquiera puede rellenar los datos?) Y si no, ¿cómo podría la declaración de ser probada de manera diferente?

Observación. Este cero de curso se ve muy esfera-como a primera vista, sin embargo, una ausencia de $|$ evita esto.

(No me sorprendería si esta pregunta es de alrededor de en este sitio ya, en cuyo caso no lo pude encontrar y agradecería un enlace t)

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biggerScala Puntos 217

La declaración es simplemente falsa. Conforme a lo solicitado, aquí es una extensión de mi comentario anterior.

Me indican por $Z(z_0^2+z_1^2-1) \subset \Bbb{C}^2$ la fuga locus del polinomio $z_0^2+z_1^2-1$.

Considerar el cambio lineal de coordenadas $$ z_0 \mapsto \frac{1}{2} \left(\frac{w_0}{1+i}+w_1 \right) $$ $$ z_1 \mapsto \frac{-i}{2}\left(\frac{w_0}{1+i}-w_1 \right) $$ Esto le da un isomorfismo de la compleja variedad $Z(z_0^2+z_1^2-1)$ sobre la hipérbola $Z(w_0w_1-1)$. Ahora claramente tenemos $$ Z(w_0w_1-1)=\{(t,t^{-1}) \ \; \vert \; t \en \Bbb{C}^*\} $$ La proyección en el primer factor da la deseada isomorfismo de $Z(w_0w_1-1)$$\Bbb{C}^*$, e $\Bbb{C}^*$ está claro que no es isomorfo a $\Bbb{C}$, por ejemplo, $\Bbb{C}$ es simplemente conectado, mientras que $\Bbb{C}^*$ no lo es. Por lo tanto podemos concluir que el $Z(z_0^2+z_1^2-1)$ no es isomorfo a$\Bbb{C}$.

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dezign Puntos 1206

La variedad $z^2+w^2=1$ es un buen cónica que por el grado-género fórmula es de género cero. Cualquier afín curva es isomorfo a $\mathbb{C}$.

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