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¿Qué significa "cerrado bajo..."?

¿Qué significa exactamente "cerrado bajo rellena el espacio en blanco "?

Gracias.

27 votos

Algo está "cerrado bajo rellene el espacio en blanco " si se aplica rellene el espacio en blanco a elementos de algo produce elementos de algo .

2 votos

Para complementar la respuesta anterior, el conjunto de los enteros es cerrado bajo la adición porque si se toman dos enteros y se suman, se siempre obtener otro número entero. El conjunto de enteros es no cerrado bajo la división, porque si se toman dos enteros y se dividen, se no siempre obtener un número entero.

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El conjunto de todos los conjuntos cerrados es cerrado bajo unión finita significa que, si $\{ A_i\}_{i=1}^n$ es una colección finita de conjuntos cerrados, entonces $\cup_{i=1}^n A_i$ es un conjunto cerrado.

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Lovsovs Puntos 99

Un conjunto es cerrado bajo adición si puedes sumar dos números cualesquiera del conjunto y seguir teniendo un número del conjunto como resultado. Un conjunto es cerrado bajo (escalar) multiplicación si puedes multiplicar dos elementos cualesquiera y el resultado sigue siendo un número del conjunto.

Por ejemplo, el conjunto $\{1,-1 \}$ es cerrado bajo la multiplicación pero no la adición.

Generalmente veo "cerrado bajo alguna operación " como que los elementos del conjunto no pueden "escapar" del conjunto utilizando esa operación.

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El ejemplo de la multiplicación escalar me parece menos afortunado, porque el principal caso en el que hablaría de la multiplicación escalar es en el álgebra lineal, y ahí la descripción que das no se aplica. En el álgebra lineal un subespacio es cerrado bajo (adición y) multiplicación escalar, porque multiplicar cualquier vector del subespacio por cualquier escalar del campo (que no es del subespacio) devuelve un vector en el subespacio. Parece que esto no es lo que querías decir, así que ¿por qué has dicho "escalar" ahí?

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@MarcvanLeeuwen Elegí incluir el "escalar" ya que "multiplicación" puede tener diferentes significados en diferentes contextos (producto interior/exterior, producto tensorial, etc.) y ya que mi ejemplo se refería a escalares (específicamente enteros, pero la operación sigue siendo la misma). Simplemente intentaba transmitir con precisión la operación en cuestión, pero parece que he fallado un poco.

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@Charles Por cierto, si encuentras que alguna de estas respuestas responde satisfactoriamente a tu pregunta, puedes aceptar una de ellas, sacar la pregunta de la "lista de no contestadas" y hacer feliz al autor de la respuesta. Saludos.

10voto

Luis Vera Puntos 137

Normalmente (no generalmente) implica una operación, por ejemplo: los números naturales son cerrados bajo la adición significa que si sumo dos números naturales, la suma también será un número natural. Este mismo conjunto no es cerrado bajo la resta ya que $1-2=-1$ y $-1$ no es un número natural

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Imago Puntos 596

Normalmente, el espacio en blanco se rellena con una "operación". Por ejemplo, se tiene un conjunto S, por ejemplo $S = \{a,b,c,d,... \} $ que está cerrado bajo una operación, por ejemplo, cerrado bajo la operación $ \star $

Lo que significa: $ \star : S \times S \to S $ o en palabras: Puede elegir dos elementos cualesquiera de $S$ por la operación $ \star$ y se les puede asignar un nuevo valor en $S$ .

Las operaciones más comunes son la suma, la multiplicación, etc. para los números naturales, los enteros, los reales, etc. Sin embargo, no hay que ser tan específico y se puede definir el conjunto y la operación de forma general.

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Andrew Davey Puntos 2322

(Esta pregunta ya tiene buenas respuestas, pero no veo la respuesta que esperaba, así que escribo esto).

Deseo añadir una definición formal. Sea $X$ sea un conjunto, $n\in\mathbb{N}$ (POR CIERTO, $0\in\mathbb{N}$ ). $f$ es un $n$ -ary operación en $X$ si $f$ es una función de $X^n$ a $X$ . Dejemos que $Y$ sea un subconjunto de $X$ . $Y$ es cerrado bajo $f$ si para cada $a\in Y^n$ $f(a)\in Y$ .

Observaciones. Como ves, un conjunto cerrado ( $Y$ en esta definición) es un subconjunto de otro conjunto ( $X$ en esta definición), y la operación puede tomar y dar miembros de $X$ que no están en $Y$ . Cada conjunto $Z$ es cerrado bajo cada $n$ -operación de los medios de comunicación en $Z$ Por lo tanto, el término "cerrado bajo" es inútil cuando $Y=X$ .

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