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Función de Totient de Euler y clases de residuos

He estado trabajando en una fórmula que parece ser una generalización de Euler Totient la Función y tienen un número de preguntas:

  1. He estado investigando por internet y parece que no puede encontrar esta función en cualquier lugar. Estoy asumiendo que es probablemente sólo en un formato diferente. Puede alguien me apunte en la dirección correcta?
  2. Es bastante fácil demostrar que la ecuación de abajo cuando $m$ e $n$ comparten los mismos factores primos ya que es equivalente a la de Euler Totient Función. Consejos sobre cómo probar cuando $m$ e $n$ no comparten los mismos factores primos?

Deje $R_n =\{ a|a \in \mathbb{Z}, 1\leqq a\leqq n,gcd(a,n) \}$

Deje $T_n =\{a_1,a_2,...,a_k,a_1+n,a_2+n,...,a_k+n\}$

Deje $g_m(n)$ representan el número de elementos en $R_n$ tal que $a_k+m$ también existe en $T_n$.

Deje $n=p_1^{e_1}p_2^{e_2}...p_k^{e_k}$ representan la descomposición en factores primos de a$n$.

Hemos estado en que $$g_m(n) = \prod_{p|n,p|m} p_k^{e-1}(p_k-1) \prod_{p|n,p|m\notin \mathbb{Z}} p_k^{e-1}(p_k-2) $$ donde $m$ es incluso y $m\leqq n$

Por ejemplo, supongamos $n=20$ e $m=6$. De ello se sigue que

$$R_{20} = \{1,3,7,9,11,13,17,19\}$$ $$T_{20}=\{1,3,7,9,11,13,17,19,21,23,27,29,31,33,37,39\}$$ $$g_6(20)=2^1*(2-1)*5^0*(5-2)=6$$ Los elementos de $g_6(20)$ se $1,3,7,11,13,17$

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user1952009 Puntos 81

Deje $n = \prod_{j=1}^J p_j^{e_j}$ y $$g_m(n) = \sum_{l=1}^n 1_{gcd(l,n)=gcd(l+m,n)=1}$ $

Usando el CRT para descomponer $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \mathbb{Z}/p_1^{e_1}\mathbb{Z} \times \ldots \times \mathbb{Z}/p_j^{e_j}\mathbb{Z}, b_j \equiv 1 \bmod p_j^{e_j}, b_j \equiv 0 \bmod p_i^{e_i}$

$$ g_m (n) = \ prod_ {j = 1} ^ J \ sum_ {l_j = 1} ^ {p_j ^ {e_j}} 1_ {l = \ sum_ {i = 1} ^ Jl_i b_i, gcd (l, p_j) = gcd (l + m, p_j) = 1} = \ prod_ {j = 1} ^ J \ sum_ {l_j = 1} ^ {p_j ^ {e_j}} 1_ {l = \ sum_ {i = 1} ^ Jl_i b_i} \ prod_ {i = 1} ^ J1_ {gcd (l, p_i) = gcd (l + m, p_i) = 1}$$ $$= \prod_{j=1}^J \sum_{l_j=1}^{p_j^{e_j}} \prod_{i=1}^J1_{gcd(l_i,p_i)=gcd(l_i+m,p_i)=1}=\prod_{j=1}^J \sum_{l_j=1}^{p_j^{e_j}} 1_{gcd(l_j,p_j)=gcd(l_j+m,p_j)=1}$$ $% #% PS

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