¿Cómo calcular el área de un triángulo 3D?

Question

Tengo las coordenadas de un triángulo en 3D y necesito calcular su área. Sé cómo hacerlo en 2D, pero no sé cómo calcular el área en 3D. He desarrollado los siguientes datos.

(119.91227722167969, 122.7717056274414, 39.3568115234375), 
(119.8951187133789, 122.7717056274414, 39.38057327270508), 
(121.11941528320312, 123.2818832397461, 38.41301345825195)

Answer 1

Si tus 3 puntos son A, B, C entonces puedes usar directamente la fórmula del (medio) producto cruzado: $$S=\dfrac{|\mathbf{AB}\times\mathbf{AC}|}2=\dfrac{|\mathbf{AB}||\mathbf{AC}||\sin(\theta)|}2 $$ que es (ver el enlace a Wikipedia para ver el producto cruzado en $\mathbb{R}^3$): $$S=\frac 12 \sqrt{(y_{AB}\cdot z_{AC}-z_{AB}\cdot y_{AC})^2+(z_{AB}\cdot x_{AC}-x_{AB}\cdot z_{AC})^2+(x_{AB}\cdot y_{AC}-y_{AB}\cdot x_{AC})^2}$$ si $\mathbf{AB}=(x_{AB},y_{AB},z_{AB})$ y $\mathbf{AC}=(x_{AC},y_{AC},z_{AC})$

Answer 2

Digamos que tienes 3 puntos $\mathbf{A, B, C}$. Encuentra el ángulo $\theta$ entre $\mathbf{AB}$ y $\mathbf{AC}$ usando el producto punto (es decir, $\mathbf{AB}\cdot\mathbf{AC}=|\mathbf{AB}||\mathbf{AC}|\cos\theta$) y luego puedes encontrar el área del triángulo usando $$ A=\frac{1}{2}|\mathbf{AB}||\mathbf{AC}|\sin\theta $$

Answer 3

La fórmula de Herón es la más fácil ya que "no requiere una elección arbitraria de lado como base o vértice como origen, contrario a otras fórmulas para el área de un triángulo:" $$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$ donde $s=p/2$ es la mitad del perímetro $p=a+b+c$ (llamado el semiperímetro del triángulo). Las longitudes de los lados del triángulo pueden obtenerse a través de la norma vectorial de las posiciones relativas: $$a=\|\vec{r}_1-\vec{r}_2\|$$ $$b=\|\vec{r}_2-\vec{r}_3\|$$ $$c=\|\vec{r}_3-\vec{r}_1\|$$

Answer 4

Si tienes 3 coordenadas en 3D $(x_1,y_1,z_1);(x_2,y_2,z_2);(x_3,y_3,z_3)$ haz dos vectores colineales como $\vec a=(x_2-x_1)I+(y_2-y_1)j+(z_2-z_1)k$ $\vec b=(x_3-x_1)I+(y_3-y_1)j+(z_3-z_1)k$ ahora encuentra el producto vectorial de $\vec a$ y $\vec b$ y el área del triángulo formado será $\frac{1}{2} \| \vec a \times \vec b \|$. Ya tienes tu respuesta deseada.

Answer 5

Alternativamente, si deseas calcular el área en una dimensión arbitraria y has calculado productos punto entre todos los puntos, $a$, $b$ y $c$, puedes calcular el área de una manera que no requiere una elección arbitraria de punto y solo requiere una raíz cuadrada, a diferencia de otras fórmulas:

$$\frac{1}{2}\sqrt{2\left(ab\cdot ac+ab\cdot bc+ac\cdot bc-ac\cdot bb-aa\cdot bc-ab\cdot cc\right)+aa\cdot cc+bb\cdot cc+aa\cdot bb-ab^2-ac^2-bc^2}$$

Donde $ab\rightarrow dot\left(a,b\right)$

Calcula la mitad de la distancia de a a b, y multiplícala por la distancia de c al punto más cercano a c en la recta de a a b.