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Prueba de separabilidad de polinomios sin derivados.

¿Existe una prueba conocida sin diferenciación que demuestre que todos los polinomios irreducibles sobre $\mathbb{Q}$ son separables? (O incluso mejor, para todos los campos de la característica $0$ .)

EDITAR: Como la gente parece cuestionar este hilo; Conozco una prueba con derivados: mi motivación para alguien que no tiene es simplemente curiosidad. Los enfoques múltiples siempre son agradables.

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barto Puntos 6296

Deje $L$ ser la división de campo de la $f \in F[x]$. Por elemental propiedades de extensiones de campo, el automorphism grupo de $L/F$ actúa transitivamente sobre las raíces, por lo que tienen la misma multiplicidad. Supongamos wlog que $f$ es monic. A continuación, $f$ algunas $n$th poder de una $g \in L[x]$. Mediante la inspección de los coeficientes, $g^n \in F[x]$ implica $g \in F[x]$. Contradicción.

En el último paso, se usa ese $n \neq 0$ en F.

Más detalles del paso: Vamos a $d$ es el grado de $g$. Se demuestra por inducción que el coeficiente de $a_{d-i}$ de $x^{d-i}$ en $g$ se encuentra en $F$. Para $i = 0$ esto es claro. Supongamos cierto para $0, \ldots, i-1$, y mirar el coeficiente de $x^{nd-i}$ en $g(x)^n$. Es igual a $n a_{d-i}$ $+$ un polinomio expresión que implique la $a_{d-j}$ para $j < i$. Debido a $n \neq 0$ e los $a_{d-j} \in F$ por supuesto, tenemos $a_{d-i} \in F$.

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