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¿Los procesos estocásticos como el Proceso Gaussiano / Proceso de Dirichlet tienen densidades? Si no, ¿cómo se les puede aplicar la regla de Bayes?

El Dirichlet Pocess y Gaussiano Proceso se refiere a menudo como "distribuciones de las funciones" o "distribuciones las distribuciones". En ese caso, puedo hablar de manera significativa sobre la densidad de una función en un GP? Es decir, realizar el Proceso Gaussiano o de Dirichlet Proceso de tener alguna noción de una densidad de probabilidad?

Si no, ¿cómo podemos usar la regla de Bayes para ir de anterior a posterior, si la noción de la probabilidad anterior de una función no está bien definido? Hacer cosas tales como MAPA o EAP existen estimaciones en el Bayesiana no Paramétrica mundo? Muchas gracias.

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user10479 Puntos 395

Una "densidad" o "probabilidad" se refiere a la Radon-Nikodym teorema de la teoría de la medida. Como se nota por @Xi'an, cuando se considera un conjunto finito de los llamados parcial observaciones de un proceso estocástico, el probabilidad corresponde a la noción habitual de la derivada de w.r.t. el Lebesgue medida. Por ejemplo, la probabilidad de una Gaussiana proceso observado en un conocido conjunto finito de índices es la de un aleatoria Gaussiana vector con su media de una covarianza deducido a partir de que se de el proceso, que puede ambos toman con parámetros formas.

En el caso idealizado donde un número infinito de observaciones es disponible a partir de un proceso estocástico, la probabilidad de medida es en un infinito-dimensional espacio, por ejemplo un espacio de continuo funciones si el proceso estocástico ha continua caminos. Pero nada existe como una medida de Lebesgue en un infinito espacio tridimensional, por lo tanto no es sencillo definición de la probabilidad.

Para Gaussiano procesos hay algunos casos en los que se puede definir un probabilidad mediante el uso de la noción de equivalencia de medidas de Gauss. Un importante ejemplo es proporcionado por el teorema de Girsanov, que es ampliamente utilizado en matemáticas financiera. De esta forma se define la probabilidad de un Itô difusión $Y_t$ , como la derivada de w.r.t de la distribución de probabilidad de una estándar de proceso de Wiener $B_t$ definido por $t \geq 0$. Una cuidada matemáticas la exposición se encuentra en el libro de Bernt Øksendal. El (próximo) libro de Särkkä y Solin proporciona una presentación intuitiva que ayuda a los practicantes. Una brillante matemática exposición sobre el Análisis y la Probabilidad de Infinito-Dimensional Espacios por Nate Elderedge está disponible.

Tenga en cuenta que la probabilidad de que un proceso estocástico que sería se observó que a veces es llamado relleno de la probabilidadpor los estadísticos.

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