A continuación se presenta una solución de fuerza bruta. Aunque debería haber soluciones más elegantes, he decidido presentar esta debido a la belleza de algunas expresiones algebraicas resultantes.
En primer lugar, hay que aclarar que (como se verá) el verdadero significado de la condición "un triángulo con lados desiguales" es "un triángulo con $AC\ne AB$ ".
A continuación, utilizamos la notación: $$ BC=a,\quad CA=b,\quad AB=c,\quad AX=m_a,\quad BY=m_b,\quad CZ=m_c. $$
Primero calculamos la longitud del segmento $LM$ . Para ello necesitamos las longitudes $OL$ , $OM$ y el coseno del ángulo $\widehat{LOM}$ : $$ OL=OX+XL=\frac{m_a}3+\frac{a^2}{4m_a}=\frac{4m_a^2+3a^2}{12m_a}\\ =\frac{(2b^2+2c^2-a^2)+3a^2}{12m_a}=\frac{a^2+b^2+c^2}{6m_a}, $$ y de manera similar $$ OM=\frac{a^2+b^2+c^2}{6m_b}. $$ Además: $$ \cos \widehat{LOM}=\frac{OA^2+OB^2-BC^2}{2OA\cdot OB}=\frac{m_a^2+m_b^2-\left(\frac32c\right)^2}{2m_am_b} $$ Combinando todo se obtiene: $$ LM=\frac{a^2+b^2+c^2}{6}\left[\frac1{m_a^2}+\frac1{m_b^2} -\frac2{m_am_b}\frac{m_a^2+m_b^2-\left(\frac32c\right)^2}{2m_am_b}\right]^{1/2}\\ =\frac{(a^2+b^2+c^2)c}{4m_am_b}. $$
De la misma manera: $$ LN=\frac{(a^2+b^2+c^2)b}{4m_am_c}. $$
Combinando las dos últimas igualdades se obtiene: $$ LM=LN\implies m_bb=m_cc\\ \implies (2a^2+2c^2-b^2)b^2=(2a^2+2b^2-c^2)c^2\implies (2a^2-b^2-c^2)(b^2-c^2)=0. $$ Como $b\ne c$ uno se queda con $$ b^2+c^2=2a^2. $$
La igualdad $ m_bb=m_cc$ tiene una interpretación geométrica simple. Significa que las medianas $BY$ y $CZ$ se cruzan con los lados respectivos $AC$ y $AB$ en ángulos iguales. Si $\angle BYC=\angle CZB$ entonces $b=c$ . Si $\angle BYC=\angle CZA$ entonces $b^2+c^2=2a^2$ .
El triángulo requerido $ABC$ puede construirse de la siguiente manera:
Dibuja un círculo $\cal C$ con radio $\frac{\sqrt3}2 BC$ centrado en el punto medio $X$ del segmento $BC$ . Entonces cualquier punto del círculo (excepto los puntos de intersección con $BC$ ) puede tomarse como el tercer vértice $A$ del triángulo.
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Cuál es el origen del problema
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Esto debería reabrirse ya que la solución de oldboys es de lejos la mejor.
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@greedoid Aquí pasan muchas cosas. Parece que $BC=LM=LN$ , $MBLC$ y $NBLC$ son trapecios...