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Problema de geometría (demostrar una relación entre los lados de un triángulo)

enter image description here Dejemos que $ABC$ sea un triángulo con lados desiguales. Las medianas de $ABC$ , cuando se extiende, interseca su circunferencia en los puntos $L, M, N$ . Si $L$ se encuentra en la mediana a través de $A$ y $LM = LN$ demostrar que..: $2BC^{2}=CA^2+AB^2$ .

Así que primero escribí el teorema del punto medio $AB^2+AC^2=2AX^2 +2XB^2$ (consulte el diagrama) y por eso traté de poner $AX$ en términos de $BX$ o $BC$ pero no encuentro la manera. Tampoco estoy seguro de dónde $LM$ y $LN$ entrar, por lo que sería de gran ayuda si alguien pudiera decirme la línea de pensamiento. Gracias.

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Cuál es el origen del problema

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Esto debería reabrirse ya que la solución de oldboys es de lejos la mejor.

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@greedoid Aquí pasan muchas cosas. Parece que $BC=LM=LN$ , $MBLC$ y $NBLC$ son trapecios...

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Adil Mehmood Puntos 182

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Observe que los triángulos $LMG\sim BAG$ y $LNG\sim CAG$ son similares.

Del primer par de triángulos semejantes tenemos:

$$\frac{BA}{BG}=\frac{LM}{LG}=\frac{LN}{LG}\tag{1}$$

Del segundo par de triángulos semejantes tenemos:

$$\frac{LN}{LG}=\frac{CA}{CG}\tag{2}$$

A partir de (1) y (2):

$$\frac{BA}{BG}=\frac{CA}{CG}$$

$${BA}^2\cdot{CG}^2={CA}^2\cdot{BG}^2\tag{3}$$

Utiliza el hecho de que:

$$CG^2=\frac19(2a^2+2b^2-c^2)\tag{4}$$

$$BG^2=\frac19(2a^2+2c^2-b^2)\tag{5}$$

$$BA=c,\ \ CA=b\tag{6}$$

Sustituye (4), (5), (6) en (3) y obtienes, tras una simplificación:

$$(c^2-b^2)(c^2+b^2-2a^2)=0$$

El triángulo es escaleno por lo que $b\ne c$ . De ello se deduce que:

$$b^2+c^2=2a^2$$

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Bravo maestro +1

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@greedoid ¡Gracias! Mi hijo ayudó mucho :)

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¡genial! no era tan complicado como pensaba, ¡gracias!

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qwertz Puntos 16

A continuación se presenta una solución de fuerza bruta. Aunque debería haber soluciones más elegantes, he decidido presentar esta debido a la belleza de algunas expresiones algebraicas resultantes.

En primer lugar, hay que aclarar que (como se verá) el verdadero significado de la condición "un triángulo con lados desiguales" es "un triángulo con $AC\ne AB$ ".

A continuación, utilizamos la notación: $$ BC=a,\quad CA=b,\quad AB=c,\quad AX=m_a,\quad BY=m_b,\quad CZ=m_c. $$

Primero calculamos la longitud del segmento $LM$ . Para ello necesitamos las longitudes $OL$ , $OM$ y el coseno del ángulo $\widehat{LOM}$ : $$ OL=OX+XL=\frac{m_a}3+\frac{a^2}{4m_a}=\frac{4m_a^2+3a^2}{12m_a}\\ =\frac{(2b^2+2c^2-a^2)+3a^2}{12m_a}=\frac{a^2+b^2+c^2}{6m_a}, $$ y de manera similar $$ OM=\frac{a^2+b^2+c^2}{6m_b}. $$ Además: $$ \cos \widehat{LOM}=\frac{OA^2+OB^2-BC^2}{2OA\cdot OB}=\frac{m_a^2+m_b^2-\left(\frac32c\right)^2}{2m_am_b} $$ Combinando todo se obtiene: $$ LM=\frac{a^2+b^2+c^2}{6}\left[\frac1{m_a^2}+\frac1{m_b^2} -\frac2{m_am_b}\frac{m_a^2+m_b^2-\left(\frac32c\right)^2}{2m_am_b}\right]^{1/2}\\ =\frac{(a^2+b^2+c^2)c}{4m_am_b}. $$

De la misma manera: $$ LN=\frac{(a^2+b^2+c^2)b}{4m_am_c}. $$

Combinando las dos últimas igualdades se obtiene: $$ LM=LN\implies m_bb=m_cc\\ \implies (2a^2+2c^2-b^2)b^2=(2a^2+2b^2-c^2)c^2\implies (2a^2-b^2-c^2)(b^2-c^2)=0. $$ Como $b\ne c$ uno se queda con $$ b^2+c^2=2a^2. $$


La igualdad $ m_bb=m_cc$ tiene una interpretación geométrica simple. Significa que las medianas $BY$ y $CZ$ se cruzan con los lados respectivos $AC$ y $AB$ en ángulos iguales. Si $\angle BYC=\angle CZB$ entonces $b=c$ . Si $\angle BYC=\angle CZA$ entonces $b^2+c^2=2a^2$ .


El triángulo requerido $ABC$ puede construirse de la siguiente manera:

Dibuja un círculo $\cal C$ con radio $\frac{\sqrt3}2 BC$ centrado en el punto medio $X$ del segmento $BC$ . Entonces cualquier punto del círculo (excepto los puntos de intersección con $BC$ ) puede tomarse como el tercer vértice $A$ del triángulo.

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Método más sencillo ahí arriba, ¡pero gracias de todos modos!

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