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¿$\operatorname{Spec}$ Conserva las expulsiones?

El espectro-functor $$ \ operatorname {Spec}: \ mathbf {cRng} ^ {op} \ to \ mathbf {Set} $$ envía un anillo (unital conmutativo)$R$ al conjunto$\operatorname{Spec}(R)=\{\mathfrak{p}\mid \mathfrak{p} \mbox{ is a prime ideal of R}\}$ y un morpshim$f:S\to R$ al mapa$\operatorname{Spec}(R)\to \operatorname{Spec}(S)$ con$\mathfrak{p}\mapsto f^{-1}(\mathfrak{p})$. ¿Este functor envía casillas de extracción \begin{eqnarray} S\times_R T&\to& T\\ \downarrow && \downarrow\\ S&\to& R \end {eqnarray} de (unital conmutativo) suena a cuadrados de expulsión \begin{eqnarray} \operatorname{Spec}(R)&\to& \operatorname{Spec}(T)\\ \downarrow && \downarrow\\ \operatorname{Spec}(S)&\to& \operatorname{Spec}(S\times_R T) \end {eqnarray} de conjuntos? Dicho de otra forma, ¿el functor$\operatorname{Spec}$ desde arriba conserva las expulsiones?

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crystalline Puntos 21

Será cierto si los dos mapas que está empujando son incrustaciones cerradas. También será cierto si uno de los mapas es un engrosamiento infinitesimal (= una inserción cerrada que induce un isomorfismo en los subsistemas cerrados reducidos). Este tipo de cosas es útil en la teoría de la defromación. En general, deberías poder encontrar los contraejemplos con bastante facilidad.

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Aleksandr Levchuk Puntos 1110

Las retracciones en$\mathbf{CRing}$ no necesariamente van a las expulsiones en$\mathbf{Sch}$ o$\mathbf{Set}$. Considere la construcción de$\mathbb{P}^1_k$: en$\mathbf{Sch}$ (resp.$\mathbf{Set}$), Tenemos el siguiente cuadrado de expulsión, $$ \ require {AMScd} \begin{CD} \mathbb{A}^1_k \setminus \{ 0 \} @>>> \mathbb{A}^1_k \\ @VVV @VVV \\ \mathbb{A}^1_k @>>> \mathbb{P}^1_k \end {CD} $$ pero si los retrocesos en$\mathbf{CRing}$ van a las expulsiones en$\mathbf{Sch}$ (resp.$\mathbf{Set}$), eso implicaría que$\mathbb{P}^1_k \cong \operatorname{Spec} k$, que es una tontería.

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